1樓：博學小趙是吃貨
把複合函式的微分法反過來用於求不定積分，利用中間變數的代換，得到複合函式的積分法，稱為換元積分法，簡稱換元法，換元法通常分為兩類：
第一類換元法：
設f(u)具有原函式f(u)，即。
f'(u)=f(u)，∫f(u)du=f(u)+c。
如果u是中間變數,u=φ(x)，且設φ(x)可微，那麼，根據複合函式微分法有：
df(φ(x))=f(φ(x))φ'(x)dx。
從而根據不定積分的定義就得：
∫f[φ(x)]φ'(x)dx=f[φ(x)]+c=[∫f(u)du] (u=φ(x))。
於是有下述定理：
定理1：設f(u)具有原函式，u=φ(x)可導，則有換元公式：
∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x)) (1)。
將所求積分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ'(x)dx就是湊微分過程，然後就是換元，也就是將積分變數x換成u；最後是求原函式，實際上就是∫f[φ(x)]φ'(x)dx不好求。
而∫f(u)du好求，所以先求出後一個不定積分；最後再將變數u換成x。當熟練掌握這一方法後，可以不必引入變數u。
由此定理可見，雖然∫f[φ(x)]φ'(x)dx是一個整體的記號，但從形式上看，被積表示式中的dx也可當作變數x的微分來對待，從而微分來對待。
從而微分等式φ'(x)dx=du可以方便地應用到被積表示式中來，我們在上節第一題目中已經這樣用了，那裡把積分∫f'(x)dx,記作∫df(x)，就是按微分f'(x)dx=df(x)，把被積表示式f'(x)dx。記作df(x)
設要求∫g(x)dx，如果函式g(x)可以化為g(x)=f[φ(x)]φ'(x)的形式，那麼：
∫g(x)dx=∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x))。
這樣，函式g(x)的積分即轉化為函式f(u)的積分，如果能求得f(u)的原函式，那麼也就得到了g(x)的原函式。
第二類換元法：
上面介紹的第一類換元法是通過變數代換u=φ(x),將積分∫f[φ(x)]φ'(x)dx化為積分∫f(u)du。
下面將介紹的第二類換元法是，適當地選擇變數代換x=φ(t),將積分∫f(x)dx化為積分，∫f[φ(t)]φ'(t)dt，這是另一種形式的變數代換，換元公式可表達為：
∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ'(t)dt。
這公式的成立是需要一定條件的，首先，等式右邊的不定積分要存在，即∫f[φ(t)]φ'(t)dt有原函式；其次，∫f[φ(t)]φ'(t)dt求出後必須用x=φ(t)的反函式t=φ^(-1)(x)代回去。
為了保證這反函式存在而且是可導的，我們假定直接函式x=φ(t)在t的某一個區間(這區間和所考慮的x的積分割槽間相對應)上是單調的，可導的，並且φ'(t)=0。
歸納上述，給出下面的定理：
定理2 設x=φ(t)是單調的，可導的函式，並且φ'(t)≠0.又設f[φ(t)]φ'(t)具有原函式，則有換元公式。
∫f(x)dx= (t=φ^(-1)(x))(2)。
其中φ^(-1)(x)是x=φ(t)的反函式。
注意：與第一類換元積分法相反，第二類換元積分法就是由於積分∫f(x)dx不便計算，而改求∫f[φ(t)]φ'(t)dt。關鍵是：如何選擇變數替換。
擴充套件資料：
不定積分的4種積分方法：
1、湊微分法：把被積分式湊成某個函式的微分的積分方法。要求：熟練掌握基本積分公式。對於複雜式子可以將其分為兩個部分，對複雜部分求導，結果與簡單部分比較。
2、換元法：包括整體換元，部分換元。還可分三角函式換元，指數換元，對數換元，倒數換元等等。須靈活運用。注意：dx須求導。
3、分部積分法：利用兩個相乘函式的微分公式，將所要求的積分轉化為另外較為簡單的函式的積分。注意：對u和v要適當選擇。
4、有理函式積分法：
有理函式是指由兩個多項式函式的商所表示的函式，由多項式的除法可知，假分式總能化為一個多項式與一個真分式之和。
2樓：基拉的禱告
詳細過程如圖，希望能解答你心中的問題………
3樓：匿名使用者
u=√x
2u du = dx
x=0, u=0
x=3, u=√3
u^2= u(1+u) -u
= u(1+u) -(1+u) +1
∫(0->3) √x/(1+√x) dx=∫(0->√3) 2u^2/(1+u) du=2∫(0->√3) [ u -1 + 1/(1+u)] du=2[ (1/2)u^2 -u +ln|1+u| ]|(0->√3)=2[ 3/2 -√3 +ln(1+√3) ]=3 -2√3 +2ln(1+√3)
4樓：小茗姐姐
方法如下圖所示，
請認真檢視，
祝學習愉快，
學業進步！
滿意請釆納！
用換元法求定積分
5樓：公秀芳斯嬋
我們知道求定積分可以轉化為求原函式的增量，在前面我們又知道用換元法可以求出一些函式的原函式。因此，在一定條件下，可以用換元法來計算定積分。
定理：設函式f(x)在區間[a,b]上連續；函式g(t)在區間[m,n]上是單值的且有連續導數；當t在區間[m,n]上變化時，x=g(t)的值在[a,b]上變化，且g(m)=a,g(n)=b；則有定積分的換元公式:
例題:計算
解答:設x=asint,則dx=acostdt,且當x=0時，t=0；當x=a時，t=π/2.於是：
注意：在使用定積分的換元法時，當積分變數變換時，積分的上下限也要作相應的變換。
定積分的分部積分法
計算不定積分有分部積分法，相應地，計算定積分也有分部積分法。
設u(x)、v(x)在區間[a,b]上具有連續導數u'(x)、v'(x)，則有(uv)'=u'v+uv',分別求此等式兩端在[a,b]上的定積分，並移向得：
上式即為定積分的分部積分公式。
例題：計算
解答：設，且當x=0時，t=0；當x=1時，t=1.由前面的換元公式得：
再用分部積分公式計算上式的右端的積分。設u=t,dv=etdt,則du=dt,v=et.於是：故：
6樓：長孫梅花幹冬
i=∫(t=-1/2，1)f(t)dt
=∫(t=1/2，1)1/t^2dt+∫(t=-1/2，1/2)t^3*e^(t^4+1)dt
=-1/t|(t=1/2，1)+(1/4)*e^(t^4+1)|(t=-1/2，1/2)
=-1+1/2+0
=-1/2
拆開的兩個積分中，前面一個是瑕積分，後面一個積分，其實用不著算，因為f(x)在閉區域內[-1/2，1/2]是奇函式，所以這個積分一定是為零，
用第一換元法求不定積分
7樓：
主要有換元法，分部積分法。用換元法求不定積分技巧性比較強，需要有一定的觀察能力和感覺，一般來說，帶根號的就想辦法（用三角代換）去掉根號。
8樓：晴天雨絲絲
內容多得恐怖，但懸賞分。。。
9樓：匿名使用者
1. 令 √(2x) = u, 則 x = u^2/2, dx = udu
i = ∫ udu/(u-1) = ∫ [1+1/(u-1)]du
= u + ln|u-1| + c = √(2x) + ln|√(2x)-1| + c
2. 令 √(1+e^x) = u, 則 e^x = u^2-1, x = ln(u^2-1), dx = 2udu/(u^2-1),
i = ∫ 2du/(u^2-1) = ∫ [1/(u-1) - 1/(u+1)]du
= ln|(u-1)/(u+1)| + c = ln|[√(1+e^x)-1]/[√(1+e^x)+1]| + c
= 2ln|√(1+e^x)-1| - x + c
5. 令 x = tanu, 則 dx = (secu)^2 du,
i = ∫ (tanu)^3(secu)^3du = ∫ (sinu)^3du/(cosu)^6
= ∫ [(cosu)^2-1]dcosu/(cosu)^6 = ∫ [(cosu)^(-4) - (cosu)^(-6)]dcosu
= (-1/3)(cosu)^(-3) + (1/5)(cosu)^(-5) + c
= (-1/3)/(cosu)^3 + (1/5)/(cosu)^5 + c
= (-1/3)(1+x^2)^(3/2) + (1/5)/(1+x^2)^(5/2) + c
6. 令 x = sinu, 則 dx = cosudu,
i = ∫ (cosu)^2du/(sinu)^4 = - ∫ (cotu)^2dcotu = -(1/3)(cot)^3 + c
= -(1/3)(1-x^2)^(3/2)/x^3 + c
高數用換元法求不定積分，要過程？
10樓：花豬
有詳細過程，換元不算複雜！
11樓：匿名使用者
例如，i = ∫ e^(2x)2^x dx = (1/2) ∫ 2^x de^(2x)= (1/2)e^(2x)2^x - (1/2) ∫ e^(2x)2^xln2 dx= (1/2)e^(2x)2^x - (ln2/2) i得 i = [1/(2+ln2)]e^(2x)2^x + c
12樓：小茗姐姐
方法如下圖所示，
請認真檢視，
祝學習愉快，
學業進步！
滿意請釆納！
定積分換元法問題求解
13樓：匿名使用者
根據題目知t=1-x, 在區間具有連續導數,分別對兩邊求導得:
dx = d(1-x) => dx = -dt
14樓：
因為x=1-t，x的微分d等於（1-t）的微分，也就相當於對（1-t）求導，也就是積分變數變成-tdt
定積分換元積分法有三換：積分割槽間，本題[0，1]變成[1，0]；被積函式要換；積分變數要換，本題dx變成了-tdt
拓展資料換元積分法：引進積分變數，使原題目被積函式變簡單，從而求較複雜的不定積分。是由於鏈式法則推到而來。
15樓：匿名使用者
首先，換元的時候，
被積函式與積分變數及積分上下限都要一起換。
第二，因為x=1-t，
【複習一下微分公式，對於y=f(x)，dy=f ' (x)dx★就是說，函式的微分=函式的導數*自變數的微分dx】現在，函式x=1-t，t是自變數，x是因變數，函式的微分dx=(1-t) ' dt=-dt。
高數，定積分的換元法，高數用換元法求不定積分，要過程？
max sinx 2 1 1 1 2 sinx 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 sinx 2 2 2 0 2 dx 1 1 2 sinx 2 0 2 2 2 dx 2 1 1 1 2 sinx 2 1 1 1 1 2 sinx 2 1 0 2 dx 1 1 2 sinx 2 0 2 dx 2...
關於定積分換元法換積分限的問題，謝謝！
這個題目不需要換元，你用換元法的目的是什麼？用積分的線性性質分開來求解是很簡單的。當你這樣換元后，不僅要考慮積分上下限的問題，還要把x轉換成t的函式，然後才能計算微分dx,x是t的反正弦三解函式，比題目中原有的正弦函式更復雜一些。換句話說 你把簡單的換元成複雜的，有這個必要嗎？第二類換元法有很多約束...
定積分的換元法和不定積分的第二類換元法有啥區別和聯絡。做題要注意什麼
簡答 1 第一類 第二類換元法，是國內無聊的教師的無聊的分類。樓主可以去查查資料，然後問問你的教授 a 哪一個教授 學者，講清楚了 究竟什麼是第一類？什麼是第二類？嚴格的分界在 b 英文的出處在 在英文中，換元是substitution,不是一些教授渲染的transformation 在經典的微積分...