1樓：匿名使用者
∫<1,0> ln(1+x)/(1+x²) dx
=∫<0,π/4>[ln(1+tanz)/(1+tan²z)]*sec²zdz (令x=tanz)
=∫<0,π/4>ln(1+sinz/cosz)dz
=∫<0,π/4>ln[(sinz+cosz)/cosz]dz
=∫<0,π/4>[ln(sinz+cosz)-ln(cosz)]dz
=∫<0,π/4>ln(sinz+cosz)dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=∫<0,π/4>ln[√2sin(z+π/4)]dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=∫<0,π/4>ln(√2)dz+∫<0,π/4>ln[sin(z+π/4)]dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=(π/4)ln(√2)+∫<0,π/4>ln[sin(z+π/4)]dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz (在第二個積分中，令z=π/4-y)
=πln2/8+∫<0,π/4>ln(cosy)dy-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=πln2/8+∫<0,π/4>ln(cosz)dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz (在第一個積分中，令z=y)
=πln2/8
2樓：匿名使用者
解：該題使用換元法：
令x=tany，則：
原式=∫(0,π/4) [ln(1+tany)]/(1+tan²y) d(tany)
=∫(0,π/4) ·sec²y dy
=∫(0,π/4) [ln(1+tany)] dy
=∫(0,π/4) ln[1+(siny/cosy)] dy
=∫(0,π/4) ln(siny+cosy)/lncosy dy
=∫(0,π/4) ln(siny+cosy) - lncosy dy
=∫(0,π/4) ln(siny+cosy) dy - ∫(0,π/4) lncosy dy
=∫(0,π/4) ln[√2sin(y+π/4)] dy - ∫(0,π/4) lncosy dy
=∫(0,π/4) [ln√2 + lnsin(y+π/4)]dy - ∫(0,π/4) lncosy dy
=∫(0,π/4) (1/2)ln2 dy + ∫(0,π/4)lnsin(y+π/4)dy - ∫(0,π/4) lncosy dy
=(π/8)ln2 + ∫(0,π/4)lnsin(y+π/4)dy - ∫(0,π/4) lncosy dy
注意觀察，∫(0,π/4)lnsin(y+π/4)dy與∫(0,π/4) lncosy dy形式非常相近，這裡運用等價法：
令：y=π/4 - t，則：
∫(π/4,0)lnsin(π/2 - t)d(-t)
=∫(π/4,0) (-1)lncost dt
= ∫(0,π/4) lncost dt
因此：原式=
(π/8)ln2 + ∫(0,π/4)lnsin(y+π/4)dy - ∫(0,π/4) lncosy dy
=(π/8)ln2 + ∫(0,π/4)lnsint dt - ∫(0,π/4) lncosy dy
=(π/8)ln2
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