已知橢圓方程（任意），求該橢圓的面積

1樓：匿名使用者

高等數學啊是定積分做的哦

如果一條固定直線被甲乙兩個封閉圖形所截得的線段比都為k，那麼甲面積是乙面積的k倍。　　那麼x^2/a^2+y^2/b^2=1 （a>b>0）的面積為π * a^2 * b/a=πab　　c1c2clone在此倡議網友編輯公式的其他推導　　因為兩軸焦點在0點，所以橢圓的面積可以分為4個相等的部分，分別是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四個區域，所以只要求出一個象限間所夾的面積，然後再乘以4就可以得到整個橢圓的面積。揀最簡單的來吧，先求第一象限所夾部分的面積。

根據定積分的定義及圖形的性質，我們可以把這部分圖形無限分為底邊在x軸上的小矩形，整個圖形的面積就等於這些小矩形面積和的極限。現在應用元素法，在圖形中任找取一點，然後再取距這點距離無限近的另一個點，這兩點間的距離記做dx，然後取以dx為底邊，兩點分別對應的y為高，與曲線相交夠成的封閉的小矩形的面積s，顯然，s=y*dx 現在求s的定積分，即大圖形的面積s，s=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y關於x的定積分步驟：

（第一象限全取正，後面不做說明） s=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx 設 x^2/a^2=sin^2t 則 ∫[0:

a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圓周率 ∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:

pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:

pi/2]b*a*sin^2t dt 這裡需要用到一個公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:

pi/2]f(cosx)dx 證明如下 sinx=cos(pi/2-x) 設u=pi/2-x 則 ∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:

pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx 則∫[0:

pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*（pi/2）-∫[0:

pi/2]b*a*cos^2t dt 那麼 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*（pi/2) 則s=a*b*(pi/4) 橢圓面積s_c=a*b*pi 可見橢圓面積與座標無關，所以無論橢圓位於座標系的哪個位置，其面積都等於半長軸長乘以半短軸長乘以圓周率

2樓：匿名使用者

s=πab 做出座標伸縮變換令x'=x/a ==>x=ax'y'=y/b ==>y=by' 則xy=abx'y'則在新座標中abs'=s 所以a�0�5x'�0�5/a�0�5+b�0�5y'�0�5/b�0�5=1 ===>x'�0�5+y'�0�5=1這是一個圓圓心是原點半徑是1則有s'=π 則橢圓面積是s=abπ要麼大學微積分這中學生不能理解

3樓：匿名使用者

s=πab或s=axb/4

根據任意橢圓的方程怎麼求橢圓中心

4樓：匿名使用者

在這裡分一下情況吧：

若a,b全為0，顯然是直線方程；

若a,b有一個為0，如b=0，則顯然是拋物線，只不過若b=0則開口向上或下，a=0時開口向左或右

若a,b均不為0

1、a=b時，兩邊除以a然後配方成為(x-p)^2+(y-q)^2=m

的形式；若m<0，此方程不代表圖形；若m=0，此方程代表點(p,q)；若m>0，設m=r^2，此方程代表以(p,q)為圓心，r為半徑的圓

2、a,b同號但不相等時，配方整理成

(x-s)^2/u^2+(y-t)^2/v^2=1的形式

此時表示以(s,t)為中心的橢圓，其長軸長和短軸長分別為2u,2v（這裡不妨設u>v）

3、a,b異號時，配方整理成

(x-s)^2/u^2-(y-t)^2/v^2=1的形式

此時表示以(s,t)為中心的雙曲線（其形狀大略是將反比例函式y=1/x的影象旋轉45度得到的影象），它的實軸長為2u，虛軸長為2v

討論完畢

其實，這個方程還不是最一般的二次曲線方程

最一般的是ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0

這裡如果xy項存在，將涉及到座標軸的旋轉，比較複雜，在此不作討論，高中課本、競賽也不作要求（其中xy=1是最簡單的旋轉，它是由雙曲線x^2-y^2=2逆時針轉45度得來）

5樓：高空深水魚

可以用旋轉座標變換，

把x=cos(a)*x-sin(a)*y;

y=sin(a)*x+cos(a)*y;

代入原來的方程，然後令得到的xy項的係數為零，求出a的值，得到關於x,y的方程：ax^2+by^2+dx+ey+f=0,配方後很容易知道它的中心為：x=d/2a,y=e/2b;再把

x和y帶到前面的兩個式子，得到的x和y就是在原來的座標架下橢圓的中心了。

已知橢圓方程（任意），求該橢圓的面積

根據任意橢圓的方程怎麼求橢圓中心

求題目橢圓的引數方程，橢圓的引數方程

求斜橢圓的引數方程，比如橢圓方程可以寫成xAcos s

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