1樓：匿名使用者
問題都錯了，那不成 立。應該是用 數學歸納法證明1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 首先證明：1^2=1(1+1)(2+1)/6成立假設：
1^2+2^2+3^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立（再證明n=k+1使等式成立）1^2+2^2+3^2+……+k^2+（k+1）^2=k(k+1)(2k+1)/6+（k+1）^2（同分，提出k+1並把餘下的式子合併）=(k+1)(2k^2+6k+6)/6(最後分解因式)=(k+1)(k+2)(2k+3)/6所以等式在n等於任意值時都成立
2樓：匿名使用者
n=1時：左邊=右邊，不等式成立
設n=k時不等式成立：左邊 =(1+2+...+k)(1+1/2+...+1/k)
= [k(k+1)/2](1+1/2+...+1/k) >=k^2+k-1
n=k+1時：
左邊 =[(k+1)(k+2)/2][1+1/2+...+1/k +1/(k+1)]
=[(k+2)/k][k(k+1)/2](1+1/2+...+1/k) + (k+2)/2
>= [(k+2)/k](k^2+k-1) + (k+2)/2
= [(k+1)^2+(k+1)-1] +(k^2+2k-4)/2k
>= (k+1)^2+(k+1)-1 =右邊, 不等式成立
因此，對任意n，不等式成立
用數學歸納法證明:1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(n是正整數）。
3樓：__白菜幫子
當n=1時，左邊=1^2=1
右邊=1*(1+1)*(2+1)/6=1
相符；設n=k時成立
即：1^2+2^2+…+k^2=k(k+1)(2k+1)/6則1^2+2^2+…+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k^2+2k+1)
=(2k^3+3k^2+k+6k^2+12k+6)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6即n=k+1時也成立，所以原題得證。
4樓：匿名使用者
當n=1時 左邊=1 右邊=1*2*3/6=1 左邊=右邊 等式成立
設當n=k-1時等式成立 即1^2+2^2+……+(k-1)^2=k*(k-1)(2k-1))/6
所以當n=k時1^2+2^2+……+(k-1)^2+k^2=(k*(k-1)(2k-1))/6+k^2=(k*(2k^2-3k+1))/6+6k^2/6
=(k*(2k^2-3k+1+6k))/6=(k*(2k^2+3k+1))/6=k*(k+1)(2k+1)/6=右邊
所以等式成立^_^
如何證明1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 之前baidu的答案我還是沒看明白，望高手詳細解答!
5樓：匿名使用者
說明：第二部是數學歸納法的關鍵，意思是：假設如果第k步成立，即n=k,我們會有歸納
假設的結果 1^2+2^2+3^2......k^2=k(k+1)(2k+1)/6 ,假設第k步成立的目的是想知道
k的下一步k+1等式是否成立？如果能通過推導得到結果k的下一步k+1步等式成立的
話，我們就說明了這樣一個事實，“只要前一步等式成立的話，它的下一步等式必定
成立！那麼對n來說，第一步是對的，任意假設一步對的話，它的下一步一定是對的。
這樣我們可以從第一步推到第二步，再從第二步推到第三步，一直往下推到第n步就是
我們要證明的結果。
第二步不是要證明n=k時左右相等，而是“假設n=k時左右相等，證明當n=k+1時左右
相等！是利用n=k時左右相等的這個條件來證明n=k+1左右相等。
ii 假設當n=k時 等式成立 即有：
1^2+2^2+3^2+......+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
當n=k+1,
等式左邊=1^2+2^2+3^2+......+k^2+(k+1)^2
等式左邊=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]/6
在等式的左邊代入歸納假設 得：
左邊=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]/6
=(k+1)(2k^2+7k+6)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]/6=右邊
即 左邊=右邊
故：如果n=k等式成立，n=k+1等式必定成立！
（不知能否理解我的解釋）
6樓：狂舞之夢
這個用數學歸納法證明的時候，第二步是一種假設，也就是說沒有證明。但是由k成立推出k+1成立。也就完成了歸納遞推。建議學習有關數學歸納法的基本原理。
證明：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
7樓：
1、數學歸納法可以證
2、也可以如下做 比較有技巧性
①n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+......+n^2
=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由於n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前後消項]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6
②利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
③另外一個很好玩的做法
想像一個有圓圈構成的正三角形，
第一行1個圈，圈內的數字為1
第二行2個圈，圈內的數字都為2，
以此類推
第n行n個圈，圈內的數字都為n，
我們要求的平方和，就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和。設這個數為r
下面將這個三角形順時針旋轉60度，得到第二個三角形
再將第二個三角形順時針旋轉60度，得到第三個三角形
然後，將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加，
我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1
而總共有幾個圈呢，這是一個簡單的等差數列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
於是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
用數學歸納法證明 1 2n，用數學歸納法證明 1 2 n 1 2n n
晴天雨絲絲 顯然n 1時，兩邊等於1，成立.設n k時，不等式成立，即 1 3 2 3 n 3 k k 1 2 2，則n k 1時，1 3 2 3 k 3 k 1 3 k k 1 2 2 k 1 3 k 1 2 k 2 2 k 1 k 1 2 k 2 2 4 k 1 k 1 1 2 2.即n k 1...
用數學歸納法證明1 n 1 ，用數學歸納法證明1 n 1 n 1 1 n 2 1 n 1 n N ,n
n 2略 n k時有1 k 1 k 1 1 k 1k 2令a 1 k 1 k 1 1 k 1則n k 1 1 k 1 1 k 2 1 k 1 a 1 k 1 k 1 1 k 1 因為1 k 1 1 k 1 1 k 2 1 k 1 所以a 1 k 1 k 1 1 k 1 a 1 k 1 k 1 1 k...
用數學歸納法證明 1 ，用數學歸納法證明 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 1 n 1 1 n 2 1 2n
我愛五子棋 1,n 1時，左邊 1 1 2 1 2.右邊 1 2成立 2，設n k時成立就是 1 1 2 1 3 1 4 1 2k 1 1 2k 1 k 1 1 2k 當 n k 1時，則1 1 2 1 3 1 2k 1 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 1 k 1 1 2k 1 2k 1 1 ...