用數學歸納法證明 1 1 2 2

時間 2021-09-13 06:06:32

1樓:匿名使用者

證明:1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(2n-1)/n (n>=2,n屬於n*)

1)1+1/2^2=5/4 < 3/2

2) 設:1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2<(2k-1)/k,

1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2+1/(k+1)^2<(2k-1)/k+1/(k+1)^2

=(2k^3+4k^2+2k-k^2-2k-1+k)/k(k+1)^2

=2-(k-1)/k(k+1)<[2(k+1)-1]/(k+1)

也就是如果n=k時成立能推出n=k+1也成立

所以,1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(2n-1)/n

2樓:匿名使用者

應該有說明n≥2吧?

證明:①n=2時,1/1^2+1/2^2=5/4 < (2×2-1)/2=3/2 成立;

②假設n=k(k≥2)時,1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2<(2k-1)/k 成立;

則:n=k+1時,

1+1/2^2+1/3^2+...+1/k^2+1/(k+1)^2

<(2k-1)/k + 1/(k+1)^2

=(2k-1)(k+1) / [k(k+1)] + 1/(k+1)^2

<(2k-1)(k+1) / [k(k+1)] + 1 / [k(k+1)]

=[(2k-1)(k+1)+1]/ [k(k+1)]

=k(2k+1) / [k(k+1)]

=(2k+1) / (k+1)

=[2(k+1)-1 ] / (k+1) 成立 ;

∴綜上:1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(2n-1)/n (n≥2)

3樓:匿名使用者

不是小於等於號嗎?因為當n=1時它不成立啊!

用數學歸納法證明1/2^2+1/3^2+…+1/(n+1)^2,假設

4樓:陸榮將

在n=k的不等式的最後加1/(k+1+1)^2

5樓:百小度

式子不完整,關係式是什麼??

用數學歸納法證明1^2+2^2+3^2+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

6樓:匿名使用者

問題都錯了,那不成 立。應該是用 數學歸納法證明1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 首先證明:1^2=1(1+1)(2+1)/6成立假設:

1^2+2^2+3^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立(再證明n=k+1使等式成立)1^2+2^2+3^2+……+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2(同分,提出k+1並把餘下的式子合併)=(k+1)(2k^2+6k+6)/6(最後分解因式)=(k+1)(k+2)(2k+3)/6所以等式在n等於任意值時都成立

7樓:匿名使用者

n=1時:左邊=右邊,不等式成立

設n=k時不等式成立:左邊 =(1+2+...+k)(1+1/2+...+1/k)

= [k(k+1)/2](1+1/2+...+1/k) >=k^2+k-1

n=k+1時:

左邊 =[(k+1)(k+2)/2][1+1/2+...+1/k +1/(k+1)]

=[(k+2)/k][k(k+1)/2](1+1/2+...+1/k) + (k+2)/2

>= [(k+2)/k](k^2+k-1) + (k+2)/2

= [(k+1)^2+(k+1)-1] +(k^2+2k-4)/2k

>= (k+1)^2+(k+1)-1 =右邊, 不等式成立

因此,對任意n,不等式成立

用數學歸納法證明:1+1/2+1/3+……+1/2^n>(n+2)/2 (n≥2)

8樓:匿名使用者

不是 >應 該是≥吧? 這樣表示很不清晰,靜下心看吧

1·n=1時 左邊=1+1/2=3/2 右邊=(1+2)/2=3/2 左邊= 右邊 不等式成立

2·假設n=k(k≥1)時不等式也成立,即1+1/2+1/3+.......+1/2^k> (k+2)/2 那麼k=k+1時,

1+1/2+......+1/2^(k+1)=1+1/2+1/3+.......+1/2^k+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)……+1/(2^k+2^k)

>(k+2)/2 +1/(2^k+1)+1/(2^k+2)……+1/(2^k+2^k)

《注意分母放大了》 >(k+2)/2 +1/(2^k+2^k)+1/(2^k+2^k)……+1/(2^k+2^k) 《1/(2^k+2^k )有2^k個哦》 =(k+2)/2+(2^k)*1/(2^k+2^k )

=(k+2)/2+1/2=[(k+1)+2]/2

即k=k+1時,不等式也成立

由1 2得,對任意自然數n不等式都成立。

9樓:瘦子插班生

樓上注意啊。n>=2啊。

用數學歸納法證明 1 ,用數學歸納法證明 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 1 n 1 1 n 2 1 2n

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