1樓：匿名使用者
證明：（1）當n=1時，a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)=2^2+a+1
顯然，a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)能被a^2+a+1整除；
（2）假設當n=k時，a^(k+1)+(a+1)^(2k-1)能被a^2+a+1整除
那麼，當n=k+1時，
a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)=a^(k+2)+(a+1)^(2k+1)
=a^(k+2)+a(a+1)^(2k-1)-a(a+1)^(2k-1)+(a+1)^(2k+1)
=a[a^(k+1)+(a+1)^(2k-1)]+(a+1)^(2k-1)[(a+1)^2-a]
=a[a^(k+1)+(a+1)^(2k-1)]+(a+1)^(2k-1)(a^2+a+1)
∵由假設知a^(k+1)+(a+1)^(2k-1)能被a^2+a+1整除
∴a[a^(k+1)+(a+1)^(2k-1)]能被a^2+a+1整除
∵(a+1)^(2k-1)(a^2+a+1)包含有a^2+a+1因式
∴(a+1)^(2k-1)(a^2+a+1)也能被a^2+a+1整除
故當n=k+1時，a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)同樣能被a^2+a+1整除
即 由數學歸納法知，當n∈n*時，a^(n+1)+(a+1)^(2n-1)能被a^2+a+1整除。
2樓：冶金詩人
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