1樓：晴天雨絲絲
顯然n＝1時，兩邊等於1，成立.
設n＝k時，不等式成立，即
1^3+2^3+…+n^3＝[k(k+1)/2]^2，則n＝k+1時，
1^3+2^3+…+k^3+(k+1)^3＝[k(k+1)/2]^2+(k+1)^3＝(k+1)^2[(k/2)^2+(k+1)]＝(k+1)^2[(k+2)^2/4]
＝[(k+1)((k+1)+1)/2]^2.
即n＝k+1時，原式也成立.
因此，原式成立。
證明:1²+2²+3²+······+(n-1)²=(n-1)n(2n-1)/6
2樓：匿名使用者
累加法n³-(n-1)³=n³-(n³-3n²+3n-1)=3n²-3n+1
(n-1)³-(n-2)³=3(n-1)²-3(n-1)+1
(n-2)³-(n-3)³=3(n-2)²-3(n-2)+1
...2³-1³=3*2²-3*2+1
相加得n)³-1=3[2²+3²+...+(n-1)²]-3[2+3+...+(n-1)]+(n-2)
=3[2²+3²+...+(n-1)²]-3(n-2)(n+1)/2+(n-2)
整理即得2²+3²+...+(n-1)²=(n-1)n(2n-1)/6-1
故1²+2²+3²+...+(n-1)²=(n-1)n(2n-1)/6
也可以用數學歸納法證明。
3樓：匿名使用者
用數學歸納法:
n=2時，1=1×2×3/6=1成立。
n=3時，1+4=2×3×5/6成立。
假設n=k時成立，
則n=k+1時，有
1²+2²+3²+……+(k-1)²+k²=(k-1)k(2k-1)/6+k²
=k(2k²-3k+1+6k)/6
=k(k+1)(2(k+1)-1)/6成立。
1.記住公式：1²+2²+3²+......+n²=6分之1n(n+1)(2n+1) 5
4樓：
1、可以採用數學歸納法證明;
2、也可以採用伯努利發散級數求和公式直接得到;
3、也可以用初等推倒方法：
1^3=(1+0)^3=1+0^3+3*0^2+3*0;
2^3=(1+1)^3=1+1^3+3*1^2+3*1;
3^3=(1+2)^3=1+2^3+3*2^2+3*2;
4^3=(1+4)^3=1+3^3+3*3^2+3*4;
.................
(n+1)^3=(1+n)^3=1+n^3+3*n^2+3*n;
把上面的n+1個等式的左右分別相加，然後消去3次項，把一次項求和，整理後把二次項放在一側，另一側整理就可以得到 12+22+32+…+n2=n/6(n+1)(2n+1)
用數學歸納法證明 1²+2²+3²+......+n²=n(n+1)(2n+1)/6
5樓：匿名使用者
下面用數學歸納法證明：
n=1時，1^2=1*（1+1）*（2*1+1)/6恆成立；
n=2時，……
假設當n=k時，1^2+2^2+3^2+……+k^2=k*(k+1)*(2*k+1)/6成立，那麼
當n=k+1時，有1^2+2^2+3^2+……+k^2+（k+1）^2=k*(k+1)*(2*k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)*(k+2)*(2*k+3)/6 即證得當n=k+1時也該等式也成立；
綜上述 ， 可以得出結論……
不過學以致用 ，只要多思考就會有收穫，不用數學歸納法也可直接證明：
下面令為滿足通項a[n]=1^2+2^2+3^2+……+n^2的數列
由公式(n+1)^3-n^3=(n+1-n)*[(n+1)^2+n*(n+1)+n^2]=(n+1)^2+n*(n+1)+n^2=(n+1)^2+n^2+n^2+n=(n+1)^2+2*n^2+n…………………………………………………①
∴（n)^3-(n-1)^3=n^2+2*(n-1)^2+(n-1)……………………………………②
（n-1)^3-(n-2)^3=(n-1)^2+2*(n-2)^2+(n-2)……………………………③
………………………………
………………………………
以此類推
3^3-2^3=3^2+2*2^2+2……………………………………（式n-1）
2^3-1^3=2^2+2*1^2+1……………………………………（式n）
以上式子左右相加
得（n+1）^3-1^3=[(2^2+3^+……+n^2)+（n+1）^2]+2*(1^2+2^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)
移項化簡整理得
a[n]=[2*(n+1)^3-(n+1)*n-2*(n+1)^2]/6
=n*(n+1)*(2*n+1)/6即證得
6樓：民辦教師小小草
證:n=1時,1²=1*2*3/6,成立
設n=k時,有1²+2²+3²+......+k²=k(k+1)(2k+1)/6
則當n=k+1時,
左邊=1²+2²+3²+......+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²]/6=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]/6=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]/6=右邊綜上可知:
不論n為何正整數, 1²+2²+3²+......+n²=n(n+1)(2n+1)/6均成立
原命題得證
用數學歸納法證明1²+2²+3²+……+n²=n（n+1）（2n+1）/6
7樓：匿名使用者
當n=1時，1*（1+1）（2*1+1）/6=1，成立。
當n=2時，2*（2+1）（2*2+1）/6=5，成立。
假設n=k時，1²+2²+3²+……+n²=n（n+1）（2n+1）/6成立，
但n=k+1時，
1²+2²+3²+……+k²+(k+1)²=(1²+2²+3²+……+k²)+(k+1)²=k（k+1）（2k+1）/6+(k+1)²=(k+1)(k(2k+1)/6+(k+1))=(k+1)((2k²+k+6k+6)/6)=(k+1)(2k²+k+6k+6)/6
=(k+1)(2k²+7k+6)/6
=(k+1)((k+2)(2k+3))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6得證
用數學歸納法證明1 n 1 ，用數學歸納法證明1 n 1 n 1 1 n 2 1 n 1 n N ,n
n 2略 n k時有1 k 1 k 1 1 k 1k 2令a 1 k 1 k 1 1 k 1則n k 1 1 k 1 1 k 2 1 k 1 a 1 k 1 k 1 1 k 1 因為1 k 1 1 k 1 1 k 2 1 k 1 所以a 1 k 1 k 1 1 k 1 a 1 k 1 k 1 1 k...
用數學歸納法證明 1 ，用數學歸納法證明 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 1 n 1 1 n 2 1 2n
我愛五子棋 1,n 1時，左邊 1 1 2 1 2.右邊 1 2成立 2，設n k時成立就是 1 1 2 1 3 1 4 1 2k 1 1 2k 1 k 1 1 2k 當 n k 1時，則1 1 2 1 3 1 2k 1 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 1 k 1 1 2k 1 2k 1 1 ...
用數學歸納法證明，1 2 3n 1 2 n（n
小寬 n 1時，1 1 2 1 1 1 成立 當n k 1時成立，即1 2 3 k 1 1 2 k 1 k 1 1 當n k時，1 2 3 k 1 2 k 1 k 1 1 k 1 2 k 1 k k 1 2 k 1 k，成立 故無論n為何值，1 2 3 n 1 2 n n 1 都成立 不懂請追問 手...