1樓：匿名使用者
n=2略
n=k時有1/k+1/(k+1)+……+1/k²>1k≥2令a=1/k+1/(k+1)+……+1/k²>1則n=k+1
1/(k+1)+1/(k+2)+……+1/(k+1)²=a-1/k+1/(k²+1)+……+1/(k+1)²因為1/(k²+1)>1/(k+1)²
1/(k²+2)>1/(k+1)²
……所以a-1/k+1/(k²+1)+……+1/(k+1)²>a-1/k+1/(k+1)²+……+1/(k+1)²
=a-1/k+(2k+1)*1/(k+1)²=a+(2k²+k-k²-2k-1)/k(k+1)²=a+[(k-1/2)²-5/4]k(k+1)²k≥2所以a+[(k-1/2)²-5/4]k(k+1)²>a>1所以n=k+1
1/(k+1)+1/(k+2)+……+1/(k+1)²>1綜上，……
2樓：
n=21/2+1/3+1/4=(6+4+3)/12=13/12>1
成立設n=k時，關係成立
1/k+1/（k+1）+...+1/k²>1
n=k+1時
左邊=1/（k+1）+1/（k+2）+...+1/k²+1/（k²+1）+...+1/（k+1）²
=1/k+1/（k+1）+1/（k+2）+...+1/k²+1/（k²+1）+...+1/（k+1）²-1/k
>1+1/（k²+1）+...+1/（k+1）²-1/k
要證明：
1/（k²+1）+...+1/（k+1）²-1/k≥0
(k+1）²-k²=2k+1項，
1/（k²+1）+...+1/（k+1）²>（2k+1）[1/（k²+1）(k²+2）...（k+1）²]^(2k+1)
>（2k+1）/(k+1)²
1/（k²+1）+...+1/（k+1）²-1/k>（2k+1）/(k+1)²-1/k
=[k(2k+1)-(k+1)²]/k(k+1)²
=(2k²+k-k²-2k-1）/k(k+1)²
=（k²-k-1）/k(k+1)²
=[(k-1/2)²-5/4]/k(k+1)²
k≥2，
k-1/2≥2-1/2=3/2
(k-1)²≥6/4
(k-1)²-5/4≥6/4-5/4=1/4>0
∴1/（k²+1）+...+1/（k+1）²-1/k≥0成立。
得證.
3樓：匿名使用者
證：n=2時，1/2 +1/3 +1/4=13/12>1，不等式成立。
假設當n=k(k∈n*)時，不等式成立，即1/k +1/(k+1)+...+1/k²>1
則當n=k+1時
1/(k+1)+1/(k+2)+...+1/k²+1/(k²+1)+1/(k²+2)+...+1/(k²+2k+1)
=[1/(k²+1)+1/(k²+2)+...+1/(k²+2k+1) -1/k] +[1/k +1/(k+1)+...+1/k²]
>[1/(k²+1)+1/(k²+2)+...+1/(k²+2k+1) -1/k] +1
1/(k²+1)+1/(k²+2)+...+1/(k²+2k+1) -1/k
>1/(k+1)²+ 1/(k+1)²+...+1/(k+1)² -1/k
=(2k+1)/(k+1)² -1/k
=[k(2k+1)-(k+1)²]/[k(k+1)²]
=(k²-k-1)/[k(k+1)²]
=(k²-k-2+1)/[k(k+1)²]
=[(k+1)(k-2)+1]/[k(k+1)²]
k≥2，(k+1)(k-2)≥0，1>0，(k+1)²>0
[(k+1)(k-2)+1]/[k(k+1)²]>0
1/(k²+1)+1/(k²+2)+...+1/(k²+2k+1) -1/k
>1/(k+1)²+ 1/(k+1)²+...+1/(k+1)² -1/k
>01/(k+1)+1/(k+2)+...+1/k²+1/(k²+1)+1/(k²+2)+...+1/(k²+2k+1)
>[1/(k²+1)+1/(k²+2)+...+1/(k²+2k+1) -1/k] +1
>1不等式同樣成立。
k為任意正整數，因此對於任意正整數n，不等式恆成立。
即：1/n +1/(n+1)+ 1/(n+2)+...+1/n²>1
解題思路：
1、運用數學歸納法，先解得n=2時不等式成立；再設n=k，進而證明n=k+1時不等式成立。
2、在證明過程中，用到了放縮法。
用數學歸納法證明不等式:1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+.....+1/n^2>1(n屬於正整數且n>1)
4樓：匿名使用者
很簡單。
（1）當n=2時，1/2+1/3+1/4=13/12>1
（2）假設當n=k時，原式成立，即1/k+1/(k+1)+……1/(k^2)>1
則n=k+1時,原式左側為1/（k+1）+1/(k+2)+……1/(k+1)^2
（注意：此時，上下兩式相差不大，注意比較）
因為k>2
所以1/(k^2+1)>1/(k*(k+2))
1/(k^2+2)>1/(k*(k+2))……
1/(k*(k+2))=1/(k*(k+2))
所以1/（k^2+1）+1/(k^2+2)+……1/(k+1)^2>(k+2)/(k*(k+2))=1/k
所以1/（k+1）+1/(k+2)+……1/(k+1)^2>1/k+1/(k+1)+……1/(k^2)>1
所以當n=k+1時也成立
所以1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+.....+1/n^2>1(n屬於正整數且n>1)
5樓：匿名使用者
書上例題 我汗 最簡單的一個
6樓：古君博僪慕
數學歸納法證明:
①n=1是顯然成立。
②假設對n=k-1成立,即1/(k+1)+1/(k+2)+…+1/(k+k)>13/24，則
1/(k+1)+1/(k+2)+…+1/(k+k)
=1/k+1/(k+1)+1/(k+2)+…+1/(k+k-2)
+1/(k+k)+1/(k+k-1)-1/k
>1/k+1/(k+1)+1/(k+2)+…+1/(k+k-2)+[1/(2k)+1/(2k)-1/k]
=1/k+1/(k+1)+1/(k+2)+…+1/(k+k-2)
>13/24
綜合①②得1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)>13/24
****************************************==
附加告訴你兩點：
第一：n=1時，不等式變為1/2+1/2>13/24,所以是成立的！
第二：這個不等式是泰勒級數，屬於高等數學的東西。
有些加強命題，不妨試試看：
3/4>1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)>13/24
1/（n+1）
+1/（n+2）+...+
1/2n≤7/10-1/(4n+1)
用數學歸納法證明 1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n<1(n≥3)成立 要速度
7樓：查擾龍鬆
（1）n=3時，左式=1/3+1/4+1/5+1/6=3/4+1/5<1,等式成立
（2）假設n=k(k≥3)是等式成立，即1/k+1/(k+1)+1/(k+2)+...+1/2k<1
因為k≥3時有，1/k-[1/(2k+1)+1/2(k+1)]=(3k+2)/[k(2k+1)(2k+2)]>0,
即1/k>1/(2k+1)+1/2(k+1)
則當n=k+1時，
1/(k+1)+1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/2k+1/(2k+1)+1/2(k+1)<1/k+1/(k+1)+1/(k+2)+...+1/2k<1
等式成立
8樓：胡雪猜
a.不等式法：記sn=1/n+1/(n+1)+.......
+1/2n, sn+1 -sn =1/(2n+2)+1/(2n+1)-1/n<0,即sn+1=3),成立，即sk <1,
因為sk+1 =sk-1/n+1/(2n+1)+1/(2k+2) 即當n=k+1,也成立， 綜合以上知道命題成立，即1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n<1對n≥3成立 用數學歸納法證明：1/n+1/(1+n)+1/(n+2) +......1/n^2>1(n∈n且n>1) 9樓：海潔舜甲 證明:(1)當n=2, 1/2+1/3+1/4=13/12>1成立 (2)假設當n=k時,即 1/k+1/(k+1)+...+1/k^2>1 所以當n=k+1時,有: 1/(k+1)+...+1/k^2+1/(k^2+1)+1/(k^2+2)+...+1/(k^2+2k+1) =1/k+1/(k+1)+...+1/k^2+[1/(k^2+1)+1/(k^2+2)+...+1/(k^2+2k+1)-1/k] >1+[1/(k^2+1)+1/(k^2+2)+1/(k^2+2k+1)-1/k] >1+[(2k+1)/(k^2+2k+1)-1/k] =1+[(2k²+k-k²-2k-1)/(k²+2k+1)k] =1+[(k²-k-1)/(k²+2k+1)k] 因為:k²-k-1＞0（當k＞2時） (k²-k-1)/(k²+2k+1)k>0 所以:1/(k+1)+...+1/k^2+1/(k^2+1)+1/(k^2+2)+...+1/(k^2+2k+1) >1+0 =1所以當n=k+1原式也成立 綜上,有: 1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/n^2>1(n>1且n是整數) 10樓：睦蕾鄭雁 n=1時，左邊=1*1=1 右邊=1/6*1*2*3=1 左邊=右邊，等式成立！ 假設n=k時成立 (k>1)即: 1*k+2(k-1)+3(k-2)+…+(k-1)*2+k*1=(1/6)k(k+1)(k+2) 當n=k+1時； 左邊=1*(k+1)+2(k+1-1)+3(k+1-2)+…+(k+1-1)*2+(k+1)*1 =1*k+1*1+2(k-1)+2*1+…+k*1+k+(k+1)=[1*k+2(k-1)+…+(k-1)*2+k*1]+1+2+3+…+k+(k+1) =(1/6)k(k+1)(k+2)+1+2+3+…+k+(k+1)=(1/6)k(k+1)(k+2)+1/2*(k+1)*(k+2)=(1/6)(k+1)(k+2)(k+3)=(1/6)(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]=右邊原式也成立！ 綜上可知，原式為真！ 晴天雨絲絲 顯然n 1時，兩邊等於1，成立.設n k時，不等式成立，即 1 3 2 3 n 3 k k 1 2 2，則n k 1時，1 3 2 3 k 3 k 1 3 k k 1 2 2 k 1 3 k 1 2 k 2 2 k 1 k 1 2 k 2 2 4 k 1 k 1 1 2 2.即n k 1... 我愛五子棋 1,n 1時，左邊 1 1 2 1 2.右邊 1 2成立 2，設n k時成立就是 1 1 2 1 3 1 4 1 2k 1 1 2k 1 k 1 1 2k 當 n k 1時，則1 1 2 1 3 1 2k 1 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 1 k 1 1 2k 1 2k 1 1 ... 1 a n 1 na n 1ls 1 a rs 1 a p 1 is true assume p k is true 1 a k 1 ka for n k 1 ls 1 a k 1 1 a k 1 a 1 ka 1 a 2 k 1 a 1 k 1 a ls p k 1 is true by prin...用數學歸納法證明 1 2n，用數學歸納法證明 1 2 n 1 2n n
用數學歸納法證明 1 ，用數學歸納法證明 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 1 n 1 1 n 2 1 2n
用數學歸納法證明 （1 a）n 1 na（其中a 1，n是正整數）