為什麼函式的二階導數的值可以確定函式的凹凸區間

1樓：閎範充聰

一階導數為0的點稱之為駐點，函式的極值點必定位於駐點和不可導點處。可以通過駐點的二階導數值來判斷駐點的性質：二階導數值》0,駐點為極小值點（函式左減右增），二階導數值0的區間是凹區間，二階導數值<0的區間是凸區間。

故第一步先求出函式的一階導數，令導函式=0，解方程求出駐點第二步再對一階導數再次求導，求出二階導數，令二階函式=0，解方程求出拐點第三步，將駐點橫座標代入二階導數，根據值，判斷駐點的性質，進而得出函式的增減區間，再將駐點橫座標代入原函式，求出極值第四步，計算拐點之間的區間的二階導數值的正負，確定凹凸區間。

2樓：和竹霜鵾

我是一線高中數學教師，希望能幫到你。

在函式f(x)的圖象上取任意兩點，如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方，那麼這個函式就是凹函式。

直觀上看，凸函式就是圖象向上突出來的。比如如果函式f(x)在區間i上二階可導，則f(x)在區間i上是凹函式的充要條件是f''(x)>=0;f(x)在區間i上是凸函式的充要條件是f''(x)<=0;

通俗的講，一個函式求了一階導數（如大於o），只能說明是遞增，但不知是遞增的越來越快還是越來越慢（可以類比加速度的思想），只有求了二階導數才知道遞增的速度，即凹凸性。

為什麼函式的二階導數的值可以確定函式的凹凸區間

3樓：匿名使用者

一階導bai數為0的點稱之du為駐點，函式的極值點

zhi必定位於駐點和不可dao導點處。可以內通過駐點的二階導數

容值來判斷駐點的性質：二階導數值》0,駐點為極小值點（函式左減右增），二階導數值0的區間是凹區間，二階導數值<0的區間是凸區間。故第一步先求出函式的一階導數，令導函式=0，解方程求出駐點第二步再對一階導數再次求導，求出二階導數，令二階函式=0，解方程求出拐點第三步，將駐點橫座標代入二階導數，根據值，判斷駐點的性質，進而得出函式的增減區間，再將駐點橫座標代入原函式，求出極值第四步，計算拐點之間的區間的二階導數值的正負，確定凹凸區間。

函式的凹凸性為什麼要用二階導數

4樓：晚夏落飛霜

一階導數反映的是函式斜率，而二階導數反映的是斜率變化的快慢，表現在函式的影象上就是函式的凹凸性。

f′′(x)>0,開口向上，函式為凹函式，f′′(x)<0,開口向下，函式為凸函式。

凸凹性的直觀理解：

設函式y=f(x)在區間i上連續,如果函式的曲線位於其上任意一點的切線的上方，則稱該曲線在區間i上是凹的；如果函式的曲線位於其上任意一點的切線的下方，則稱該曲線在區間i上是凸的。

確定曲線y=f(x)的凹凸區間和拐點的步驟：

1、確定函式y=f(x)的定義域；

2、求出在二階導數f"(x)；

3、求出使二階導數為零的點和使二階導數不存在的點；4、判斷或列表判斷,確定出曲線凹凸區間和拐點。

5樓：angela韓雪倩

在函式f(x)的圖象上取任意兩點，如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方，那麼這個函式就是凹函式。

擴充套件資料：

設函式f(x)在區間i上定義，若對i中的任意兩點x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有 f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),若不等號嚴格成立，即"<"號成立，則稱f(x)在i上是嚴格凹函式。

如果"<="換成">="就是凸函式。類似也有嚴格凸函式。

設f(x)在區間d上連續，如果對d上任意兩點a、b恆有f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2

那麼稱f(x)在d上的圖形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恆有f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2

那麼稱f(x)在d上的圖形是（向上）凸的（或凸弧）

這個定義從幾何上看就是：

在函式f(x)的圖象上取任意兩點，如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方，那麼這個函式就是凹函式。同理可知，如果函式影象在這兩點之間的部分總在連線這兩點線段的上方，那麼這個函式就是凸函式。

如果函式f(x)在區間i上二階可導，則f(x)在區間i上是凸函式的充要條件是f''(x)<=0;f(x)在區間i上是凹函式的充要條件是f''(x)>=0;

琴生（jensen）不等式（也稱為詹森不等式）：（注意前提、等號成立條件）設f(x)為凸函式，則f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);設f(x)為凹函式，f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),稱為琴生不等式。

加權形式為：f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中ai≥0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.

如果一個函式f(x)在某個區間i上有f''(x)（即二階導數）>0恆成立，那麼在區間i上f(x)的圖象上的任意兩點連出的一條線段，這兩點之間的函式圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。

結合一階、二階導數可以求函式的極值。當一階導數等於0，而二階導數大於0時，為極小值點。當一階導數等於0，而二階導數小於0時，為極大值點；當一階導數和二階導數都等於0時，為駐點。

6樓：

我是一線高中數學教師，希望能幫到你。

在函式f(x)的圖象上取任意兩點，如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方，那麼這個函式就是凹函式。

怎麼用一次導和二次導求函式的極點，調區間，極值，凹凸區間和拐點.

7樓：善言而不辯

一階導數為0的點稱之為駐點，函式的極值點必定位於駐點和不可導點處。

可以通過版駐點的二階導數值來判斷權駐點的性質：

二階導數值》0,駐點為極小值點（函式左減右增），

二階導數值<0,駐點為極大值點（函式左增右減）

二階導數值=0,駐點有可能不是極值點，需判斷駐點左右一階導數值的正負有無變化。

二階導數為0的點稱之為拐點，二階導數值》0的區間是凹區間，二階導數值<0的區間是凸區間。

故第一步先求出函式的一階導數，令導函式=0，解方程求出駐點

第二步再對一階導數再次求導，求出二階導數，令二階函式=0，解方程求出拐點

第三步，將駐點橫座標代入二階導數，根據值，判斷駐點的性質，進而得出函式的增減區間，再將駐點橫座標代入原函式，求出極值

第四步，計算拐點之間的區間的二階導數值的正負，確定凹凸區間。

為什麼二階導數能判斷函式凹凸性？

8樓：匿名使用者

因為隨著凹凸變化，曲線的切線斜率會出現相應的改變。

1在凹最低處或凸最高內處，切線斜率為0，即一階容導數為02在凹圖象最低處左右，一階導數從最低處左方的》0趨於右方的<0,這一過程二階導數》0

在凸圖象最高處左右，一階導數從最高處左方的<0趨於右方的》0,這一過程二階導數<0

因此根據二階導數可以判斷函式的凹凸性質

如何利用一階導數及二階導數分析函式的單調性、極值、最值、影象的凹凸性及拐？

9樓：匿名使用者

單調性：：

（1）若導數大於零，則單調遞增；若導數小於零，則單調遞減；導數等於零為函式駐點，不一定為極值點。需代入駐點左右兩邊的數值求導數正負判斷單調性。

（2）若已知函式為遞增函式，則導數大於等於零；若已知函式為遞減函式，則導數小於等於零。

根據微積分基本定理，對於可導的函式，有：

如果函式的導函式在某一區間內恆大於零（或恆小於零），那麼函式在這一區間內單調遞增（或單調遞減），這種區間也稱為函式的單調區間。導函式等於零的點稱為函式的駐點，在這類點上函式可能會取得極大值或極小值（即極值可疑點）。進一步判斷則需要知道導函式在附近的符號。

對於滿足的一點，如果存在使得在之前區間上都大於等於零，而在之後區間上都小於等於零，那麼是一個極大值點，反之則為極小值點。另外極值不一定等於最值。求最值還需要求出區間邊界的函式值，再與極值比較，進一步取得區間最小值

x變化時函式（藍色曲線）的切線變化。函式的導數值就是切線的斜率，綠色代表其值為正，紅色代表其值為負，黑色代表值為零。

凹凸性：

可導函式的凹凸性與其導數的單調性有關。如果函式的導函式在某個區間上單調遞增，那麼這個區間上函式是向下凹的，反之則是向上凸的。如果二階導函式存在，也可以用它的正負性判斷，如果在某個區間上恆大於零，則這個區間上函式是向下凹的，反之這個區間上函式是向上凸的。

曲線的凹凸分界點稱為曲線的拐點。

二階導數大於零，函式圖形是凹的還是凸的

10樓：小小芝麻大大夢

凹的。二階導數大於0，說明該函式的一階導數是單增函式。也就是說，該函式在各點的切線斜率隨著 x 的增大而增大。因此，該函式圖形是凹的。

二階導數，是原函式導數的導數，將原函式進行二次求導。一般的，函式y=f（x）的導數y‘=f’（x）仍然是x的函式，則y’=f’（x）的導數叫做函式y=f（x）的二階導數。在圖形上，它主要表現函式的凹凸性。

切線斜率變化的速度，表示的是一階導數的變化率。函式的凹凸性（例如加速度的方向總是指向軌跡曲線凹的一側）。

11樓：

二階導數大於 0，說明該函式的一階導數是單增函式。也就是說，該函式在各點的切線斜率隨著 x 的增大而增大。因此，該函式圖形是凹的

12樓：痕水月

這個應該是一個order吧，好像這個有具體的書上會寫。

為什麼函式的二階導數的值可以確定函式的凹凸區間

請問二階導數的用處，請問二階導數的用處

二階導數是0的函式除了x x c還有什麼

利用二階導數，判斷下列函式的極值y x

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