y的二階導函式等於y的一階導函式的平方加一,求解此微分方程通解

時間 2021-09-14 21:48:09

1樓:橘落淮南常成枳

由題意知y''=1+(y')^2。

令y'=p,則y''=p'=dp/dx,於是原方程可以寫成:p'=1+p^2,所以dp/(1+p^2)=dx。

對等式兩端同時積分得到:arctanp=x+c1(c1為常數),即p=tan(x+c1),y'=tan(x+c1),所以dy=tan(x+c1)dx,再對等式兩端同時積分得到微分方程的通解為:y=-ln|cos(x+c1)|+c2(c1、c2均為常數)

一階導數表示的是函式的變化率,最直觀的表現就在於函式的單調性定理:

設f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內具有一階導數,那麼:

(1)若在(a,b)內f'(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形單調遞增;

(2)若在(a,b)內f』(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形單調遞減;

(3)若在(a,b)內f'(x)=0,則f(x)在[a,b]上的圖形是平行(或重合)於x軸的直線,即在[a,b]上為常數。

如果一個函式的定義域為全體實數,即函式在實數域上都有定義,要使函式f在一點可導,那麼函式一定要在這一點處連續。換言之,函式若在某點可導,則必然在該點處連續。

2樓:匿名使用者

y''=y'^2+1

令y'=p, 即dy/dx=p

則y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy帶入:pdp/dy=p^2+1

移項後兩邊積分

p/(p^2+1)dp=dy

1/2ln(p^2+1)=y+c

則:p^2+1=e^(2y+2c)

則p=√(e^(2y+2c)-1)

即:dy/dx=√(e^(2y+2c)-1)移項後兩邊積分,

dy/√(e^(2y+2c)-1)=dx

令 √(e^(2y+2c)-1)=t ,則y=1/2ln[(t^2+1)/e^(2c)]

dy=1/2e^(2c)/(t^2+1)*2tdt=e^(2c)t/(t^2+1)dt

帶入:∫e^(2c)t/(t^2+1)*1/tdt=x=∫e^(2c)/(t^2+1)dt=x

e^(2c)arctant+c2=x

再帶回t得:

x=e^(2c)arctan√(e^(2y+2c)-1)+c2令e^(2c)=c1,則為

x=c1*arctan√(c1*e^(2y)-1)+c2

y的二階導等於一加y一階導的平方,求通解

3樓:夢色十年

^y= -ln |cos(x+c1)|+c2 (c1、copyc2均為常數)。

由題意知y''=1+(y')^2

令y'=p,則y''=p'=dp/dx

於是原方程可以寫成:p'=1+p^2

所以dp/(1+p^2)=dx

對等式兩端同時積分得到:arctan p=x+c1(c1為常數)即p=tan(x+c1),y'=tan(x+c1)所以dy=tan(x+c1) dx

再對等式兩端同時積分得到微分方程的通解為:

y= -ln |cos(x+c1)|+c2 (c1、c2均為常數)

y的二階導數=1+(y的一階導數)的平方,求微分方程的通解

4樓:一個人郭芮

由題意知y''=1+(y')^2

令y'=p,則y''=p'=dp/dx

於是原方程可以寫成:p'=1+p^2,

所以dp/(1+p^2)=dx

對等式兩端同時積分得到:arctan p=x+c1(c1為常數)即p=tan(x+c1),y'=tan(x+c1),所以dy=tan(x+c1) dx,

再對等式兩端同時積分得到微分方程的通解為:

y= -ln |cos(x+c1)|+c2 (c1、c2均為常數)

y的二階導數等於y的一階導數加x求通解

5樓:假面

具體回答如下:y''+y'=x

特徵方程

r^2+r=0

r=-1,r=0

因此齊次通解是

y=c1+c2e^(-x)

觀察得特解是

y=1/2x^2-x

因此通解是

y=c1+c2e^(-x)+1/2x^2-x導數的意義:不是所有的函式都有導數,一個函式也不一定在所有的點上都有導數。若某函式在某一點導數存在,則稱其在這一點可導,否則稱為不可導。

然而,可導的函式一定連續;不連續的函式一定不可導。

對於可導的函式f(x),x↦f'(x)也是一個函式,稱作f(x)的導函式(簡稱導數)。尋找已知的函式在某點的導數或其導函式的過程稱為求導。

6樓:吉祿學閣

y''=y'+x

y''-y'=x

7樓:匿名使用者

y" = y' + x (0)

y"- y'= x (1)

y"- y'= 0 (2) 特徵方程:s^2-s = 0 s1=0 s2=1 (2)的通解:

y(x) = c1 + c2e^(x) (3) 設(1)的特解:y1(x) = ax^2+bx (試探法)

代入(1): 2a-2ax-b=x (2a-b)=(1+2a)x a = -1/2 b = -1

特解:y1 = -0.5x^2 - x (4)

(1)的通解為(1)的特解和(2)的通解之和:

y(x) = c1+c2e^(x)-0.5x^2-x (5)

其中c1、c2由初始條件確定。

求微分方程 y的二階導數+y的一階導數=x的平方 的通解... 求詳細求解過程~

8樓:康伯偉

d²y/dx² + dy/dx = x²

solution :

d²y/dx² + dy/dx = 0

the characteristic equation (特徵方程) is

λ² + λ = 0, λ(λ + 1) = 0, λ₁= 0, λ₂= -1.

so the characteristic solution (特徵解) is

y = c₁+ c₂e^(-x)

let particular solution (令特解) be

y』= ax³ + bx² + cx + d

substituting y' into the differential equation (將特解代入原方程):

6ax + 2b + 3ax² + 2bx + c = x²

a = 1/3, b = -3a = -1, c = -2b = 2

so,the general solution (通解) is

y = c₁+ c₂e^(-x) + (1/3)x³ - x² + 2x

補充說明:

因為方程的右面是二次代數式,左邊至少求導一次,特解一定是三次式,求導後才有二次代數式.

y的二階導數等於y的一階導數加x求通解

假面 具體回答如下 y y x 特徵方程 r 2 r 0 r 1,r 0 因此齊次通解是 y c1 c2e x 觀察得特解是 y 1 2x 2 x 因此通解是 y c1 c2e x 1 2x 2 x導數的意義 不是所有的函式都有導數,一個函式也不一定在所有的點上都有導數。若某函式在某一點導數存在,則...

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