1樓：匿名使用者
知識點: 若a是實矩陣, 則 r(a^ta) = r(a).
證明方法: 齊次線性方程組 ax=0 與 a'ax=0 同解.
證明: 記a'=a^t
(1)設x1是ax=0的解, 則ax1=0所以a'ax1=a'(ax1)=a'0=0所以x1是a'ax=0的解.
故 ax=0 的解是 a'ax=0 的解.
(2)設x2是a'ax=0的解, 則a'ax2=0等式兩邊左乘 x2'得 x2'a'ax2=0所以有 (ax2)'(ax2)=0
所以 ax2=0. [長度為0的實向量必為0向量, 此時用到a是實矩陣]
所以x2是ax=0的解.
故a'ax=0的解是ax=0的解.
(3) 綜合(1)(2)知齊次線性方程組ax=0與a'ax=o是同解方程組.
故它們的基礎解系所含向量的個數相同, 即有 n-r(a) = n-r(a'a)
所以 r(a)=ra'a)
2樓：匿名使用者
這是因為我們能夠證明r(a^ta)=r(a)=m證明如下：
為了書寫方便，我們將轉置記為a'
考慮方程a'ax=0，則x'a'ax=0
而x'a'ax=(ax)'ax=y'y>=0上式要求等號成立就需滿足ax=0
即由a'ax=0得出ax=0
由方程組解的關係知 n-r(a'a)<=n-r(a) 所以r(a'a)>=r(a)
又由r(ab)<=r(a)知 r(a'a)<=r(a)所以r(a'a)=r(a)=m
又因為a'a為n階方陣，大於矩陣的秩m，所以行列式|a^ta|=0
3樓：呂珠雪明遠
第一問是定理，第二問秩小於行列數，所以行列為0。經濟數學團隊幫你解答，請及**價。謝謝！
設a為m×n實矩陣，證明r(a^t a)=r(a)
4樓：夢色十年
^證明齊次線性方程組 ax=0 (1)與 a^tax=0 (2)同解即可：
顯然(1)的解是(2)的解。
設x0是(2)的解, 則 a^版tax0=0。
所以權 x0^t a^tax0=0。
所以 (ax0)^t(ax0)=0。
所以 ax0 = 0。
即有(2)的解也是(1)的解。
故兩個方程組同解進而基礎解系含相同的個數的解向量。
即 n-r(a) = n-r(a^ta)。
所以r(a^t a)=r(a)。
5樓：匿名使用者
方法:證明齊bai次線性方程組 ax=0 (1)與 a^tax=0 (2)同解
du即可
顯然zhi(1)的解dao
是(2)的解
設x0是(2)的解, 則 a^內tax0=0所以 x0^t a^tax0=0
所以 (ax0)^t(ax0)=0
所以 ax0 = 0
即有(2)的解也容是(1)的解
故兩個方程組同解進而基礎解系含相同的個數的解向量即 n-r(a) = n-r(a^ta)
所以 ......
6樓：匿名使用者
若r(a)=n，注意ax＝來0的充分必要條件是自x＝0。則對任意的非零x，有ax非零，於是x^ta^tax=(ax)^t(ax)>0，故a^ta正定。反之，設a^ta正定。
若r(a) a是m*n矩陣 則r(a)=r(a^ta) 怎麼證明 7樓：義亭仵婭靜 命題需要a是實矩陣才成立 證明:(1)設x1是ax=0的解, 則ax1=0 所以a^tax1=a^t(ax1)=a^t0=0所以x1是a^tax=0的解. 故ax=0 的解是a^tax=0 的解.(2)設x2是a^tax=0的解, 則a^tax2=0 等式兩邊左乘 x2^t得 x2^ta^tax2=0 所以有(ax2)^t(ax2)=0 所以ax2=0. [長度為0的實向量必為0向量, 此時用到a是實矩陣] 所以x2是ax=0的解. 故a^tax=0的解是ax=0的解. 綜上知齊次線性方程組ax=0與a^tax=o是同解方程組. 所以它們的基礎解系所含向量的個數相同 故有r(a) =r(a^ta) 矩陣 matrix 是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合，最早來自於方程組的係數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。行列式在數學中，是由解線性方程組產生的一種算式。行列式的特性可以被概括為一個多次交替線性形式，這個本質使得行列式在歐幾里德空間中可以成為描述 體積 的函式。... 矩陣a等於矩陣b，則矩陣每一個元素都相等，因此a的行列式等於b的行列式 矩陣a不等於矩陣b，行列式不一定不相等，最簡單的例子10 和10 01 11 宛若一縷風 1,2個相等的矩陣，不僅行數和列數都相等，而且各個位置上的元素也一一對應相等。一個矩陣的行列式對應的是一個唯一的數值。所以a和b矩陣相等，... 夢色十年 矩陣的行列式和其轉置矩陣的行列式一定相等。證明要用到 1 交換排列中兩個元素的位置，改變排列的奇偶性 2 行列式的定義可改為按列標的自然序，正負號由行標排列的奇偶性決定。擴充套件資料初等行變換 1 以p中一個非零的數乘矩陣的某一行。2 把矩陣的某一行的c倍加到另一行，這裡c是p中的任意一個...什麼是矩陣，什麼是行列式，行列式和矩陣的區別是什麼
矩陣A等於矩陣B，A的行列式等於B的行列式嗎？矩陣A不等於矩陣B，A的行列式不等於B的行列式嗎
矩陣的轉置的行列式矩陣本身的行列式