證明對所有正實數a b c,1 a 3 b 3 abc

時間 2021-08-30 10:46:20

1樓:神州的蘭天

證明:對所有正實數a、b、c,

證明完畢。

希望對你有所啟發。

2樓:牛牛獨孤求敗

a、b、c>0

——》(a+b)(a-b)^2>=0

——》a^3+b^3-a^2b-ab^2>=0——》a^3+b^3+abc>=a^2b+ab^2+abc=ab(a+b+c)

——》1/(a^3+b^3+abc)<=1/[ab(a+b+c)],同樣:1/(b^3+c^3+abc)<=1/[bc(a+b+c)],1/(c^3+a^3+abc)<=1/[ca(a+b+c)],——》1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(c^3+a^3+abc)

<=1/[ab(a+b+c)]+1/[bc(a+b+c)]+1/[ca(a+b+c)]

=(a+b+c)/[abc(a+b+c)]=1/(abc),

命題得證。

3樓:銀0楓

因為a,b,c為正數,所以a^3+b^3+abc>=abc,b^3+c^3+abc>=abc,a^3+c^3+abc>=abc

即1/(a^3+b^3+abc)≤1/(a^2b+b^2a+abc)=1/ab(a+b+c)

同理,1/(b^3+c^3+abc)≤1/bc(a+b+c)

1/(a^3+c^3+abc)≤1/ac(a+b+c)

三式子相加,1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(a^3+c^3+abc)

≤1/ab(a+b+c)+1/bc(a+b+c)+1/ac(a+b+c)=1/abc

不等式證明設a,b,c為正數求證:1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(a^3+c^3+abc)<=1/abc

4樓:陳

根據齊次性:不妨設abc=1,則

左邊=1/(a^3+b^3+1)+1/(b^3+c^3+1)+1/(a^3+c^3+1)

而p=a^3,q=b^3,r=c^3

==>pqr=1,而且原式等於價於證明:1/(p+q+1)+1/(q+r+1)+1/(r+p+1)<=1

這個直接通分後暴力,利用pqr法即可證得。

或者:我們可以先嚐試證明1/(p+q+1)+1/(q+r+1)+1/(r+p+1)<=1/(2+p)+1/(2+q)+1/(2+r

)再通過1/(2+p)+1/(2+q)+1/(2+r)<=1 (這個只需要證明3+p+q+r<=2(1/p+1/q+1/r)就可以得到,這個式子不難證明) 就可以完成這個不等式的證明。

5樓:

1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(a^3+c^3+abc)

<=1/(a^2b+ab^2+abc)+1/(b^2c+bc^2+abc)+1/(a^2c+ac^2+abc)

=1/(ab(a+b+c))+1/(bc(a+b+c))+1/(ca(a+b+c))

=(1/(a+b+c))*(1/(ab)+1/(bc)+1/(ca))

=(1/(a+b+c))*(a+b+c)/(abc)

=1/(abc)

a、b、c為正實數且滿足abc=1,是證明:1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+1/c^3(a+b)≥3/2(用柯西不等式)

6樓:匿名使用者

證明:不妨設m=1/a³(b+c)+1/b³(c+a)+1/c³(a+b).

∵abc=1.

∴兩邊平方可得:a²b²c²=1.

把1=a²b²c²代入上面的式子,整理可得:

m=[b²c²/(ab+ac)]+[a²c²/(ab+bc)]+[a²b²/(ac+bc)]

[[1]]

由柯西不等式可得:

2(ab+bc+ac)m

=[(ab+ac)+(ab+bc)+(ac+bc)]×≧(bc+ac+ab)²

即2(ab+bc+ac)m≧(ab+bc+ac)².

∴m≧(ab+bc+ac)/2.等號僅當a=b=c=1時取得.

[[2]]

由題設abc=1及均值不等式可得:

ab+bc+ac≧3, 等號僅當a=b=c=1時取得.

結合上面兩點,可得: m≧3/2.

即1/a³(b+c)+1/b³(a+c)+1/c³(a+b)≧3/2.

其中,等號僅當a=b=c=1時取得.

7樓:數學聯盟小海

上邊的答的什麼= =!

1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+1/c^3(a+b)=(bc)^2/(ab+ac)+(ac)^2/(ab+bc)+(ab)^2/(ac+bc)

柯西得》=(bc+ac+ab)^2/2(ab+bc+ac)=(ab+bc+ac)/2

>=(1/2)*3(abc)^(2/3)=3/2最後一步是均值。

我答過一個一樣的題

8樓:吳嘉穎

法一、反證法,假設1/√(1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2)>3/2,由於a,b,c的可互換性,

可知1/√(1+a^2),1/√(1+b^2),1/√(1+c^2)至少有一個大於1/2,則可推出a,b,c三個數中至少有一個小於於√3,設a為最小數,a<√3;

(a+b+c)/abc=1/bc+1/ab+1/ac<1/(a*a)+1/(a*a)+1/(a*a)<1與a+b+c=abc矛盾

所以1/√(1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2)≤3/2

法二、換元a=tana b=tanb c=tanc且a,b,c屬於(0,π/2)

tana+tanb+tanc =tanatanbtanc

tana+tanb+tanc(1-tana*tanb)=(tana+tanb)(1+tanc/tan(a+b))=0

tanc=-tan(a+b),又由範圍可知a+b+c=180度

即證1/√(1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2=cosa+cosb+cosc≤3/2

cosa+cosb+cosc=2cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)-2cos((a+b)/2)^+1

僅當a=b,cos((a+b)/2)=1/2時取得最大值3/2,

所以1/√(1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2=cosa+cosb+cosc≤3/2

請給分哦~

9樓:匿名使用者

由a>0,b>0,abc=1知c=1/(ab)>0,所以

1/[a³(b+c)]+1/[b³(a+c)]+1/[c³(a+b)]

=[b³c³(a+c)(a+b)+a³c³(b+c)(a+b)+a³b³(b+c)(a+c)]/[a³b³c³(a+b)(b+c)(a+c)]

=[b³c³(a+c)(a+b)+a³c³(b+c)(a+b)+a³b³(b+c)(a+c)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]

=[b³c³(a²+ac+ab+bc)+a³c³(b²+ac+ab+bc)+a³b³(c²+ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]

=[a²b³c³+a³b²c³+a³b³c²+(b³c³+a³c³+a³b³)(ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]

=[bc+ac+ab+(b³c³+a³c³+a³b³)(ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]

=[(b³c³+a³c³+a³b³+1)(ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]

=[(b³+a³)c³+(a³b³+1)](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]

=[(b+a)(a²-ab+b²)c³+(ab+1)(a²b²-ab+1)](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]

≥[(b+a)abc³+(ab+1)ab](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]

=[(b+a)c²+(ab+1)ab](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]

a,b屬於正實數,a b 1,求證

1 a 1 b 1 ab 1 a 1 b a b ab 1 a 1 b 1 b 1 a 2 1 a 1 b 2 a b a a b b 2 1 b a a b 1 2 2 b a a b 2 2 2 2 4 81 a 1 b 1 ab 8 a 2 b 2 a b 2 2 1 2ab a b 2 2 ...

設a,b都是正實數,且1 a b

1 a 1 b 1 a b 0 1 a 1 b 1 a b a b ab 1 a b ab a b a b ab a 2 b 2 b 2 ab a 2 0 b a 2 b a 1 0 設x b a 則 x 2 x 1 0 解得 x 1 5 2 即 b a 1 5 2 因為a b都是正實數 所以,b ...

已知正實數a,b滿足ab a b 3,求a b的最小值a

曾竹青集碧 69 換元思想,令t a b,再放不等式,a b 2根號ab 2根號 a b 3 兩邊平方得 t 2 t 6 0,解得t 6,即 ab min 6,此時a b 3同理,你自己用同樣的辦法求ab的最小值,能得到9嗎 屠賢袁嫣 解 因為a b 1 所以b 1 a 所以由非負數的性質可知,最小...