1樓：神州的蘭天
證明：對所有正實數a、b、c，
證明完畢。
希望對你有所啟發。
2樓：牛牛獨孤求敗
a、b、c>0
——》(a+b)(a-b)^2>=0
——》a^3+b^3-a^2b-ab^2>=0——》a^3+b^3+abc>=a^2b+ab^2+abc=ab(a+b+c)
——》1/(a^3+b^3+abc)<=1/[ab(a+b+c)]，同樣：1/(b^3+c^3+abc)<=1/[bc(a+b+c)]，1/(c^3+a^3+abc)<=1/[ca(a+b+c)]，——》1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(c^3+a^3+abc)
<=1/[ab(a+b+c)]+1/[bc(a+b+c)]+1/[ca(a+b+c)]
=(a+b+c)/[abc(a+b+c)]=1/(abc)，
命題得證。
3樓：銀0楓
因為a,b,c為正數，所以a^3+b^3+abc>=abc,b^3+c^3+abc>=abc,a^3+c^3+abc>=abc
即1/(a^3+b^3+abc)≤1/(a^2b+b^2a+abc)=1/ab(a+b+c)
同理，1/(b^3+c^3+abc)≤1/bc(a+b+c)
1/(a^3+c^3+abc)≤1/ac(a+b+c)
三式子相加，1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(a^3+c^3+abc)
≤1/ab(a+b+c)+1/bc(a+b+c)+1/ac(a+b+c)=1/abc
不等式證明設a,b,c為正數求證：1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(a^3+c^3+abc)<=1/abc
4樓：陳
根據齊次性：不妨設abc=1，則
左邊=1/(a^3+b^3+1)+1/(b^3+c^3+1)+1/(a^3+c^3+1)
而p=a^3，q=b^3，r=c^3
==>pqr=1，而且原式等於價於證明：1/(p+q+1)+1/(q+r+1)+1/(r+p+1)<=1
這個直接通分後暴力，利用pqr法即可證得。
或者：我們可以先嚐試證明1/(p+q+1)+1/(q+r+1)+1/(r+p+1)<=1/（2+p）+1/（2+q）+1/(2+r
)再通過1/（2+p）+1/（2+q）+1/(2+r)<=1 （這個只需要證明3+p+q+r<=2（1/p+1/q+1/r）就可以得到，這個式子不難證明） 就可以完成這個不等式的證明。
5樓：
1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(a^3+c^3+abc)
<=1/(a^2b+ab^2+abc)+1/(b^2c+bc^2+abc)+1/(a^2c+ac^2+abc)
=1/(ab(a+b+c))+1/(bc(a+b+c))+1/(ca(a+b+c))
=(1/(a+b+c))*(1/(ab)+1/(bc)+1/(ca))
=(1/(a+b+c))*(a+b+c)/(abc)
=1/(abc)
a、b、c為正實數且滿足abc=1,是證明:1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+1/c^3(a+b)≥3/2（用柯西不等式）
6樓：匿名使用者
證明:不妨設m=1/a³(b+c)+1/b³(c+a)+1/c³(a+b).
∵abc=1.
∴兩邊平方可得:a²b²c²=1.
把1=a²b²c²代入上面的式子,整理可得:
m=[b²c²/(ab+ac)]+[a²c²/(ab+bc)]+[a²b²/(ac+bc)]
[[1]]
由柯西不等式可得:
2(ab+bc+ac)m
=[(ab+ac)+(ab+bc)+(ac+bc)]×≧(bc+ac+ab)²
即2(ab+bc+ac)m≧(ab+bc+ac)².
∴m≧(ab+bc+ac)/2.等號僅當a=b=c=1時取得.
[[2]]
由題設abc=1及均值不等式可得:
ab+bc+ac≧3, 等號僅當a=b=c=1時取得.
結合上面兩點,可得: m≧3/2.
即1/a³(b+c)+1/b³(a+c)+1/c³(a+b)≧3/2.
其中,等號僅當a=b=c=1時取得.
7樓：數學聯盟小海
上邊的答的什麼= =！
1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+1/c^3(a+b)=(bc)^2/(ab+ac)+(ac)^2/(ab+bc)+(ab)^2/(ac+bc)
柯西得》=(bc+ac+ab)^2/2(ab+bc+ac)=(ab+bc+ac)/2
>=(1/2)*3(abc)^(2/3)=3/2最後一步是均值。
我答過一個一樣的題
8樓：吳嘉穎
法一、反證法，假設1/√（1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2)>3/2,由於a,b,c的可互換性，
可知1/√（1+a^2)，1/√(1+b^2)，1/√(1+c^2)至少有一個大於1/2，則可推出a,b,c三個數中至少有一個小於於√3，設a為最小數，a<√3；
(a+b+c)/abc=1/bc+1/ab+1/ac<1/(a*a)+1/(a*a）+1/（a*a）<1與a+b+c=abc矛盾
所以1/√（1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2)≤3/2
法二、換元a=tana b=tanb c=tanc且a,b,c屬於（0，π/2)
tana+tanb+tanc =tanatanbtanc
tana+tanb+tanc（1-tana*tanb）=(tana+tanb)(1+tanc/tan(a+b))=0
tanc=-tan(a+b),又由範圍可知a+b+c=180度
即證1/√（1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2=cosa+cosb+cosc≤3/2
cosa+cosb+cosc=2cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)-2cos((a+b)/2)^+1
僅當a=b，cos((a+b)/2)=1/2時取得最大值3/2，
所以1/√（1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2=cosa+cosb+cosc≤3/2
請給分哦～
9樓：匿名使用者
由a>0,b>0,abc=1知c=1/(ab)＞0,所以
1/[a³(b+c)]+1/[b³(a+c)]+1/[c³(a+b)]
=[b³c³(a+c)(a+b)+a³c³(b+c)(a+b)+a³b³(b+c)(a+c)]/[a³b³c³(a+b)(b+c)(a+c)]
=[b³c³(a+c)(a+b)+a³c³(b+c)(a+b)+a³b³(b+c)(a+c)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[b³c³(a²+ac+ab+bc)+a³c³(b²+ac+ab+bc)+a³b³(c²+ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[a²b³c³+a³b²c³+a³b³c²+(b³c³+a³c³+a³b³)(ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[bc+ac+ab+(b³c³+a³c³+a³b³)(ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[(b³c³+a³c³+a³b³+1)(ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[(b³+a³)c³+(a³b³+1)](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[(b+a)(a²-ab+b²)c³+(ab+1)(a²b²-ab+1)](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]
≥[(b+a)abc³+(ab+1)ab](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[(b+a)c²+(ab+1)ab](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]
a,b屬於正實數,a b 1,求證
1 a 1 b 1 ab 1 a 1 b a b ab 1 a 1 b 1 b 1 a 2 1 a 1 b 2 a b a a b b 2 1 b a a b 1 2 2 b a a b 2 2 2 2 4 81 a 1 b 1 ab 8 a 2 b 2 a b 2 2 1 2ab a b 2 2 ...
設a,b都是正實數，且1 a b
1 a 1 b 1 a b 0 1 a 1 b 1 a b a b ab 1 a b ab a b a b ab a 2 b 2 b 2 ab a 2 0 b a 2 b a 1 0 設x b a 則 x 2 x 1 0 解得 x 1 5 2 即 b a 1 5 2 因為a b都是正實數 所以,b ...
已知正實數a,b滿足ab a b 3,求a b的最小值a
曾竹青集碧 69 換元思想，令t a b,再放不等式，a b 2根號ab 2根號 a b 3 兩邊平方得 t 2 t 6 0,解得t 6，即 ab min 6,此時a b 3同理，你自己用同樣的辦法求ab的最小值，能得到9嗎 屠賢袁嫣 解 因為a b 1 所以b 1 a 所以由非負數的性質可知，最小...