設a,b,c為正數,求證 a 2 b 2 2c b

時間 2021-08-30 10:46:20

1樓:

不妨設a≥b≥c>0,則a^3≥b^3≥c^3,1/bc≥1/ac≥1/ab

則左式為順序和,即:

a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab≥a^2/c+b^2/a+c^2/b(亂序和)

a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab≥b^2/c+c^2/a+a^2/b(亂序和)

兩式相加,2(a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab)≥(a^2+b^2)/c+(b^2+c^2)/a+(c^2+a^2)/b

兩邊除以2,即(a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab)≥(a^2+b^2)/2c+(b^2+c^2)/2a+(c^2+a^2)/2b。

2樓:

不知道什麼是排序不等式,但是可以證明出來這個結論:

兩邊同時乘以2abc,那麼即要證明:2(a^4+b^4+c^4)>=(a^2+b^2)ab+(b^2+c^2)bc+(c^2+a^2)ca.

這樣只需證明a^4+b^4 >= (a^2+b^2)ab即可,把右邊的移到左邊,即是證明(a^3-b^3)(a-b)>=0得證

3樓:少

因為a,b,c都為正數,所以[(a的三次方/bc)+(b的三次方/ca)]/2 ≥ 根

號[(a的三次方/bc)*(b的三次方/ca)],去掉根號得

[(a的三次方/bc)+(b的三次方/ca)]/2 ≥ ab/c ---1式

同理可得[(b的三次方/ac)+(c的三次方/ab)]/2 ≥ bc/a ---2式

[(a的三次方/bc)+(c的三次方/ab)]/2 ≥ ac/b ---3式

把1式,2式,3式相加得

(a的三次方/bc)+(b的三次方/ca)+(c的三次方/ab) ≥

(ab/c) + (bc/a) +(ac/b) , 又

因為 [(ab/c) + (bc/a)] ≥ 根號 2*[(ab/c) * (bc/a)],再去掉根號得

(ab/c) + (bc/a) ≥ 2b ---4式

同理可得 (bc/a) +(ac/b) ≥ 2c ---5式

(ab/c) + (ac/b) ≥ 2a ---6式

再把4式,5式,6式相加得2*[(ab/c) + (bc/a) +(ac/b)] ≥ 2(a+b+c)

即(ab/c) + (bc/a) +(ac/b) ≥ a + b + c

又因為(a的三次方/bc)+(b的三次方/ca)+(c的三次方/ab) ≥ (ab/c)

+ (bc/a) +(ac/b) ,

所以(a的三次方/bc)+(b的三次方/ca)+(c的三次方/ab)≥a+b+c

數學問題:設a,b,c,d都是正數,求證:√(a^2+c^2+d^2+2cd) + √(b^2+c^2) >√(a^2+b^2+d^2+2ab)

4樓:倒寫青天

構造一個矩形abcd 在ab bc cd da上順次取點e.f.g.h四點不與端點重合 使得eg//ad//bc,ab//hf//dc 因為a b c d都大於0

設ae=b eb=a ah=c hd=d 圖形希望你自己內畫出來易知 eh=根號

容[b²+c²] ec=根號[a²+(c+d)²] hc=根號[(a+b)²+d²]

三角形ehc中,顯然eh+ec>hc

所以 根號[a²+c²+d²+2cd]+根號[b²+c²]>根號[a²+b²+d²+2ab] 成立

5樓:白楊龍

我證了,不好寫給思路:兩邊平方,把左邊不帶根號移到右邊;再平方載一起移到左邊為(ac+cb+db)^2>0得證勾股定理,,貌似用不上

6樓:匿名使用者

數形結合,兩邊大於第三邊啊啊

設a,b,c,為正數,證明:a^2/b+b^2/c+c^2/a>=a+b+c 30

7樓:匿名使用者

∵a, b, c均為正數,

∴由柯西不等式可得:

(a+b+c)[(c²/a)+(a²/b)+(b²/c)]≥(c+a+b)²

即: (a²/b)+(b²/c)+(c²/a)≥a+b+c等號僅當a=b=c時取得.

8樓:匿名使用者

∵ a^2/b +b≥2a

b^2/c +c≥2b

c^2/a +a≥2c

以上3式相加:a^2/b+b+b^2/c+c+c^2/a+a≥2a+2b+2c

(a^2/b+b^2/c+c^2/a)+(a+b+c)≥2(a+b+c)

∴ a^2/b+b^2/c+c^2/a≥a+b+c

9樓:匿名使用者

a^2是不是a乘以2 的意思啊

已知a,b,c均為正數,證明:a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2>=6√3

10樓:匿名使用者

證明:a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2=a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+2/ab+2/bc+2/ca 由均值不等式:1/a^2+1/b^2>=2/ab1/b^2+1/c^2>=2/bc1/c^2+1/a^2>=2/ca 上三式相加得2(1/a^2+1/b^2+1/c^2)>=2(1/ab+1/bc+1/ca)也即1/a^2+1/b^2+1/c^2>=1/ab+1/bc+1/ca

所以a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+2/ab+2/bc+2/ca>=a^2+b^2+c^2+3(1/ab+1/bc+1/ca)=(a^2+3/ab)+(b^2+3/bc)+(c^2+3/ca)>=2√(3a/b)+2√(3b/c)+2√(3c/a)>=6√3

得證。。

11樓:匿名使用者

證明:(證法一)

因為a,b,c均為正數,由平均值不等式得 {a2+b2+c2≥3(abc)231a+1b+1c≥3(abc)-13①

所以 (1a+1b+1c)2≥9(abc)-23②(

故 a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥3(abc)23+9(abc)-23.

又 3(abc)23+9(abc)-23≥227=63③

所以原不等式成立

當且僅當a=b=c時,①式和②式等號成立.當且僅當 3(abc)23=9(abc)-23時,③式等號成立.

即當且僅當a=b=c= 314時,原式等號成立.

(證法二)

因為a,b,c均為正數,由基本不等式得 {a2+b2≥2abb2+c2≥2bcc2+a2≥2ac

所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①

同理 1a2+1b2+1c2≥1ab+1bc+1ac②

故 a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2③

≥ab+bc+ac+31ab+31bc+31ac

≥63所以原不等式成立.

當且僅當a=b=c時,①式和②式等號成立,當且僅當a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3時,③式等號成立.

即當且僅當a=b=c= 314時,原式等號成立

a,b,c,d都為正數 求證:根號下(a^2+b^2)+根號下(c^2+d^2)≥根號下[(a+c)^2+(b+d)^2].

12樓:tat蘿蔔

假設的目的是為了解題

假設的條件是符合規定,也就是不違反規定

因此,為了解題需要,你可以做任何符合規定的假設。

ps:你可以設b(c,d),但對解題沒有幫助。

他設b(-c,-d),不違反任何規定,又解了題。就是這樣了

13樓:棋之道

不能亂設,因為兩點的距離的平方=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2

14樓:匿名使用者

a(a,b) o(0,0) b(-c,-d)

左邊=|ao|+|bo|>=|ab|=右邊

該證明方法是數形結合法之距離公式,還可以用向量方法證明,當然也可以用代數方法平方去根號分析證明。

15樓:浪潮

fdgbgfbcfxgxdg

已知a,b,c為正數,且a 2 b 3 c 3 3abc求證a b c

a 3 b 3 c 3 3abc 0 a b a 2 ab b 2 c c 2 3ab 0 a b a 2 ab b 2 c c 2 3ab a 2 ab b 2 a 2 ab b 2 0 a b a 2 ab b 2 c c 2 a 2 2ab b 2 a 2 ab b 2 0 a b a 2 a...

已知a,b,c都是正數,證明 a2 b2 c

願取陌生為名 證明 證法一 因為a,b,c均為正數,由平均值不等式得 a2 b2 c2 3 abc 231a 1b 1c 3 abc 13 所以 1a 1b 1c 2 9 abc 23 故 a2 b2 c2 1a 1b 1c 2 3 abc 23 9 abc 23 又 3 abc 23 9 abc ...

已知abc均為正數,證明 a 2 b 2 c

因為a,b,c均為正數,由基本不等式得a2 b2 2abb2 c2 2bcc2 a2 2ac 所以a2 b2 c2 ab bc ac 同理1a2 1b2 1c2 1ab 1bc 1ac 6分 故a2 b2 c2 1a 1b 1c 2 ab bc ac 31ab 31bc 31ac 63所以原不等式成...