1樓：匿名使用者
首先早知道特徵向量怎麼來的，易知k重特徵值η對應線性無關特徵向量個數ξ=n-r(ηe-a)，其中n是a方陣階數，非方陣無特徵值。對於方陣λe-a通過初等行列變換一定可化成
/ λ-λ1___a____b ... s \| ______λ-λ2___c ... g || ______...
___________|\ ______________λ-λn /(上三角)所以k重特徵根最多將還矩陣秩減少k，當矩陣中開頭是λ-λs的這一排右邊的數全為零時，將該矩陣的秩減少k，不全為零則減少秩數不足k，所以r(ηe-a)≥n-k，ξ=n-r(ηe-a)≤n-n+k＝k, 所以k重特徵值η對應線性無關特徵向量個數ξ小於等於k。
2樓：莊之雲
用數學歸納法
只有一個特徵值時,因特徵向量非0,所以無關.
設k-1個不同的特徵值對應的特徵向量無關
則k個時,作線性組合為0向量,此式記為1
兩邊左乘a即和特徵值聯絡,此式記為2
1式兩邊乘第k個特徵值,此式記為3
3-2即消去第k個特徵向量,由歸納假設,k-1個特徵向量無關,即得1式中的組合係數都為0得證.
1.矩陣不同的特徵值對應的特徵向量一定線性無關嗎 2.相同特徵值對應的特徵向量會不會線性無關
3樓：小樂笑了
1、矩陣不同
的特徵值對應的特徵向量一定線性無關
證明如下：
假設矩陣a有兩個不同特徵值k,h，相應特徵向量是x,y其中x,y線性相關，不妨設y=mx，因此，得到ax=kx【1】
ay=hy=hmx
即amx=hmx【2】
而根據【1】有
amx=kmx【3】
【2】-【3】，得到
0=(h-k)mx
由於特徵向量x非零向量，而h,k兩個特徵值不相同，即h-k不為0則m=0，則y=mx=0，這與特徵向量非零向量，矛盾！
因此假設不成立，從而結論得證
2、相同特徵值對應的特徵向量不一定線性無關因為，某個特徵值的一個特徵向量的非零倍數，也是該特徵值的特徵向量但兩個特徵向量，因為是倍數關係，因此是線性相關的。
又例如，如果一個特徵值，相應特徵方程解出來，基礎解系中有多個解向量，這些解向量是線性無關的，且都是此特徵值的特徵向量。
4樓：你好丶吊
特徵值不同 是 特徵向量線性無關的 充分不必要條件。
1.充分條件很容易理解。
2.必要條件的理解。
由對稱矩陣的性質可得：k重特徵值必有k個線性無關的特徵向量。
也就是說：對於對稱矩陣，無論有沒有相同的特徵值，它的特徵向量都是線性無關的。所以由後邊不能推到前邊。
5樓：2048人
1. 是
2. 可能會
為什麼一個特徵值不能對應兩個線性無關的特徵向量？
6樓：匿名使用者
請你找一本線性代數課本（數學專業用），其中有一個定理：對於矩陣a的特徵值λ
。代數重數≥幾何重數。
（代數重數是特徵值λ作為特徵方程的根的重數。
幾何重數是特徵值λ所對應的特徵子空間的維數。即λ對應的線性無關的特徵向量的個數。）
這個定理的證明不太麻煩。但是這裡還是寫不出。
順便說一句，a相似於對角陣的充要條件正是：
對於a的每個特徵值，總有：代數重數＝幾何重數。
對稱矩陣必相似於對角陣，總有：代數重數＝幾何重數
線性代數中為什麼k重特徵值至多有k個線性無關的特徵向量呢，如何證明呢？ 5
7樓：竹葉若水
設λ是baiσ的一
個特徵值du
，那麼就有λ對應的特徵子空間的zhi一個基假設維數為daos，將此基擴充內為v的一個基σ在這個
容基下的矩陣便可以寫出來，寫出這個矩陣的特徵多項式，就證得λ至少是特徵多項式的s重根。。。這個證明應該一般的教科書上都有啊。
8樓：匿名使用者
已知實n階矩陣A具有n個兩兩不同的特徵值。fE
證明 設a1,a2,an是a的n個不同的特徵值.則存在可逆矩陣p,使 p 1ap diag a1,an b 記為b 即有 a pbp 1.又 f e a a1 a2 an 所以 f a a a1e a a2e a ane pbp 1 a1e pbp 1 a2e pbp 1 ane p b a1e b...
設A是數域F上的n階方陣,並且有n個特徵值。證明,存在數域F上的可逆矩陣P使得P 1AP為上三角矩陣
jordan標準型 qr分解 將矩陣分解成一個正規正交矩陣q與上三角形矩陣r，所以稱為qr分解法 知道這些就可以看懂樓上答案了吧。ps 你是南京大學13級的嗎？ 宮平專用 我證的是t 1at，你再調整一下字母吧 證明 設 1，s為a的所有不同的實特徵根，且可知a與某一jordan標準型矩陣j相似，即...
證明 設n階方陣a滿足a 2 a，證明a的特徵值為1或
設 a為矩陣a的特徵值，x為對應的非零特徵向量。則有 ax ax.ax ax a 2x a ax a ax aax a ax a 2x,a 2 a x 0,因x為非零向量，所以。0 a 2 a a a 1 a 0或1. 感覺上面兩位說的都有問題。數學還是嚴謹點好。第一位顯然是錯的，又沒告訴你a是2階...