1樓：
解：本題可以直接用「湊」的方法解決。
∵x^3+x^2+2=x^3+2x-2x+(x^2+2)=(x+1)(x^2+2)-2x，∴(x^3+x^2+2)/(x^2+2)^2=(x+1)/(x^2+2)-2x/(x^2+2)^2，
∴原式=∫(x+1)dx/(x^2+2)-∫2xdx/(x^2+2)^2=(1/2)∫(2x+2)dx/(x^2+2)+1/(x^2+2)。
而∫(2x+2)dx/(x^2+2)=ln(x^2+2)+2∫dx/(x^2+2)=ln(x^2+2)+(√2)arctan(x/√2)+c1，
∴原式=(1/2)ln(x^2+2)+(√2/2)arctan(x/√2)+1/(x^2+2)+c。供參考。
2樓：匿名使用者
被積表示式化為真分式
=[(x^3+2x)+(x^2+2)-2x]/(x^2+2)^2=x/(x^2+2)+1/(x^2+2)-2x/(x^2+2)^2∫x/(x^2+2)dx=1/2ln(x^2+2)+c∫1/(x^2+2)dx=∫1/2*1/(x/√2）^2+1)dx=1/√2*arctan1/(x/√2）+c
-∫2x/(x^2+2)^2dx=-1/2*(x^2+2)+c三式相加
高數，不定積分，關於有理函式為真分式的拆分，如圖
3樓：彗心山風
用紙寫步驟可能有些不清晰，有問題的話可以繼續問我的。希望能夠幫到你:)
4樓：萬有引力
我覺得這是拆項的規律，至於你說的圖三分子沒有x項，那是為了好看，就算你加上x了你算出的係數也是0。得到的紅線部分是上式通分的結果，紅線部分之後是一個恆成立的等式。
有理函式的積分，有理真分式分解成部分分式怎麼推匯出來的
5樓：demon陌
1、將分母在實數內分解；
2、分母上如有一次函式：
如x，則分解後有a/x這一項；
如2x+3、3x-4等，則分解後亦有一項a/(2x+3x)、a/(3x-4)；
如x³，則分解後a/x+b/x²+c/x³三項；
如(2x+3)³、(3x-4)³等，則分解後亦有a/(2x+3)、(2x+3)²、(2x+3)³三項；
或a/(3x-4)、(3x-4)²、(3x-4)³三項；
二次冪有兩項，三次冪有三項，四次冪有四項，五次冪有五項，餘類推。
3、如果分母上有二次函式：
如(x²+x+1)⁴，則分解後有(bx+c/(x²+x+1)、(dx+e)(x²+x+1)²、(fx+g)(x²+x+1)³、
(hx+i)(x²+x+1)⁴四項。
五次冪有五項，六次冪有六項，七次冪有七項。餘類推。
6樓：安克魯
不要被上面的**嚇住！那是喜歡虛張聲勢的教師經常拿來炫耀的！
也不要去看什麼線性代數，那會大海撈針。
看懂線性代數的基本名詞術語，將消耗至少幾十個小時。
簡單方法：
1、將分母在實數內分解；
2、分母上如有一次函式：
如x，則分解後有a/x這一項；
如2x+3、3x-4等，則分解後亦有一項a/(2x+3x)、a/(3x-4)；
如x³，則分解後a/x+b/x²+c/x³三項；
如(2x+3)³、(3x-4)³等，則分解後亦有a/(2x+3)、(2x+3)²、(2x+3)³三項；
或a/(3x-4)、(3x-4)²、(3x-4)³三項；
二次冪有兩項，三次冪有三項，四次冪有四項，五次冪有五項，餘類推。
3、如果分母上有二次函式：
如(x²+x+1)⁴，則分解後有(bx+c/(x²+x+1)、(dx+e)(x²+x+1)²、(fx+g)(x²+x+1)³、
(hx+i)(x²+x+1)⁴四項。
五次冪有五項，六次冪有六項，七次冪有七項。餘類推。
4、其餘類推。
5、係數待定主要有三種：substitution，coefficient comparison，covering-up。
國內主要是代入法，係數比較法。
如有問題，請hi我。具體問題具體討論，很容易，看兩道例題就能完全掌握。
7樓：叢林俠客
像除法一樣除，直到餘無x
8樓：匿名使用者
查高等代數相關章節
用到了多項式相除的定理。
p(x),q(x)是兩個多項式，則存在唯一的多項式r(x),t(x) 使得
p(x)=r(x)q(x) + t(x) , 其中t(x)的次數小於q(x)
用這個結論，可以推出你想要的結論。注意，裂開看分子的多項式次數是小於分母的
有理函式的不定積分問題
9樓：
原則是，分母是最高是n次的，那分子就設定成n-1次的然後來解釋你的問題
例4，第二第三項其實也是按照這個原則來的，不信你把第三項跟第二項通分加一下看看，就變成了分母是二次，分子是一次的待定係數項
例5，第二項的分母兩次，分子就應該設定成一次的多項式來待定係數例6，和例4是一個道理，只不過分母變成了二次對於例4的(x-2)^2，你可以不寫成第二項和第三項那樣的形式，直接寫分子是bx+c,得到的結果是一樣的，這樣反而不容易漏項
10樓：你的眼神唯美
不定積分結果不唯一求導驗證應該能夠提高湊微分的計算能力先寫別問唉。這就是奧氏法(奧斯特洛格拉德斯基積分方法)，俄羅斯微積分。
關於高等數學中有理分式不定積分和因式分解的問題
11樓：_歷史虛無主義
兩個多項式的商p(x)/q(x)稱為有理函式，又稱為有理分式，我們總假定分子多項式p(x) 與分母多項式q(x)之間無公因式，當分子多項式p(x)的次數小與分母多項式q(x)，稱有理式為真分式，否則稱為假分式.
對於假分式的積分：利用多項式除法，總可將其化為一個多項式與一個真分式之和的形式.
總結：解被積函式為假分式的有理函式時，用多項式出發將其化簡為多項式和真分式之和的形式，然後進行積分.對於一些常見函式積分進行記憶，有助於提高解題速度。
參考：1.http:
因式分解
提公因式法
各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式.
如果一個多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.
具體方法：當各項係數都是整數時,公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母,而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式,多項式的次數取最低的.
如果多項式的第一項是負的,一般要提出「-」號,使括號內的第一項的係數成為正數.提出「-」號時,多項式的各項都要變號.
口訣：找準公因式,一次要提淨；全家都搬走,留1把家守；提負要變號,變形看奇偶.
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).
注意：把2a^2+1/2變成2(a^2+1/4)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反過來,就可以把某些多項式分解因式,這種方法叫公式法.
平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；
注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式,另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．
公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2.
（3）分解因式技巧
1.分解因式與整式乘法是互為逆變形.
2.分解因式技巧掌握：
①等式左邊必須是多項式；
②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示；
③每個因式必須是整式,且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數；
④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止.
注：分解因式前先要找到公因式,在確定公因式前,應從係數和因式兩個方面考慮.
3.提公因式法基本步驟：
（1）找出公因式；
（2）提公因式並確定另一個因式：
①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定係數在確定字母；
②第二步提公因式並確定另一個因式,注意要確定另一個因式,可用原多項式除以公因式,所得的商即是提公因式後剩下的一個因式,也可用公因式分別除去原多項式的每一項,求的剩下的另一個因式；
③提完公因式後,另一因式的項數與原多項式的項數相同.
[編輯本段]
競賽用到的方法
⑶分組分解法
分組分解是解方程的一種簡潔的方法,我們來學習這個知識.
能分組分解的方程有四項或大於四項,一般的分組分解有兩種形式：二二分法,三一分法.
比如：ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我們把ax和ay分一組,bx和by分一組,利用乘法分配律,兩兩相配,立即解除了困難.
同樣,這道題也可以這樣做.
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
幾道例題：
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法：=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
說明：係數不一樣一樣可以做分組分解,和上面一樣,把5ax和5bx看成整體,把3ay和3by看成一個整體,利用乘法分配律輕鬆解出.
2. x^3-x^2+x-1
解法：=(x^3-x^2)+(x-1)
=x^2(x-1)+ (x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二二分法,提公因式法提出x2,然後相合輕鬆解決.
3. x2-x-y2-y
解法：=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然後相合解決.
⑷十字相乘法
這種方法有兩種情況.
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和.因此,可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m時,那麼kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
圖示如下：
×c d
例如：因為
1 -3
×7 2
-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,
所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．
十字相乘法口訣：首尾分解,交叉相乘,求和湊中
⑸拆項、添項法
這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項）,使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解.要注意,必須在與原多項式相等的原則下進行變形.
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．
⑹配方法
對於某些不能利用公式法的多項式,可以將其配成一個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解,這種方法叫配方法.屬於拆項、補項法的一種特殊情況.也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形.
例如：x²+3x-40
=x²+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)²-(6.5)²
=(x+8)(x-5)．
⑺應用因式定理
對於多項式f(x)=0,如果f(a)=0,那麼f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x²+5x+6,f(-2)=0,則可確定x+2是x²+5x+6的一個因式.(事實上,x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)
注意：1、對於係數全部是整數的多項式,若x=q/p（p,q為互質整數時）該多項式值為零,則q為常數項約數,p最高次項係數約數；
2、對於多項式f(a)=0,b為最高次項係數,c為常數項,則有a為c/b約數
⑻換元法
有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然後進行因式分解,最後再轉換回來,這種方法叫做換元法.
注意:換元后勿忘還元.
例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時,可以令y=x²+x,則
原式=(y+1)(y+2)-12
=y²+3y+2-12=y²+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x²+x+5)(x²+x-2)
=(x²+x+5)(x+2)(x-1)
有理函式和可化為有理函式的不定積分這節重要嗎
時空聖使 很重要在數學分析中，不定積分的學習主要是為了計算定積分服務的。而在不定積分的知識中，有理函式的不定積分是一個重點和難點。而一些三角函式的不定積分，也可通過萬能公式或者其他一些變換轉化為有理函式的不定積分。當分母是ax bx c等等這樣的多項式時分子設ax b等等這樣的多項式，次數比分母少1...
做不定積分需要的三角函式公式，不定積分裡有個關於三角函式的萬能代換公式公式是什麼
用第二類換原法中的三角代換基本上就這兩個公式了.其他要掌握的就是三角函式中的和差化積公式以及積化和差公式 這個在其他的諸如求極限，高階導數中也較為常用 sin sin 2sin 2 cos 2 sin sin 2cos 2 sin 2 cos cos 2cos 2 cos 2 cos cos 2si...
有理數的不定積分怎麼拆分？有技巧嗎
首先分母分解因式。然後拆分成各因式為分母的分式和，分子用待定係數 在有意義的情況下，是任何一個賦值都會滿足的，因為本身有理式的拆分就是一個恆等式求解的過程，也就是設a x a x 那麼你無論給左右兩邊取什麼值，只要這個值在a x 的定義域內，該等式一定成立的。而且如果不採用賦值法的話，就直接進行同分...