1樓：假面
本題區域關於x軸對稱，y關於y是一個奇函式，因此積分為0，所以被積函式中的y可去掉。
∫∫（x+y）dxdy
=∫∫xdxdy
用極座標，x²+y²=2x的極座標方程為：r=2cosθ
=∫[-π/2---->π/2] dθ∫[0---->2cosθ] rcosθ*rdr
=∫[-π/2---->π/2] cosθdθ∫[0---->2cosθ] r²dr
=∫[-π/2---->π/2] (cosθ)*(1/3)r³ |[0---->2cosθ] dθ
=(8/3)∫[-π/2---->π/2] cos⁴θ dθ
=(16/3)∫[0---->π/2] cos⁴θ dθ
=(16/3)∫[0---->π/2] [1/2(1+cos2θ)]² dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (1+cos2θ)² dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+cos²2θ) dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+1/2(1+cos4θ)) dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (3/2+2cos2θ+1/2cos4θ) dθ
=(4/3)(3/2θ+sin2θ+1/8sin4θ) |[0---->π/2]
=(4/3)(3/2)*(π/2)
二重積分的意義：
二重積分和定積分一樣不是函式，而是一個數值。因此若一個連續函式f（x，y）內含有二重積分，對它進行二次積分，這個二重積分的具體數值便可以求解出來。
在空間直角座標系中，二重積分是各部分割槽域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函式f（x，y）的所表示的曲面和d底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。
2樓：茹翊神諭者
簡單計算一下即可，答案如圖所示
3樓：鬆農抗慧豔
這題的積分割槽域---圓域的圓心為(1/2,1/2)，半徑為(√2)/2
因為圓心非原點，所以無論用直角座標還是極座標，上下限都不好確定。所以應想到把圓域平移到原點處，即用座標變換。
但二重積分的座標變換涉及到雅克比公式，一般來說比較麻煩，而此題只是平移，不涉及旋轉，變形之類得，所以可省去雅克比的過程。
令x=(1/2)+u，y=(1/2)+v,則積分圓域變為以(0,0)為圓心，以(√2)/2為半徑。
而原積分=∫∫(1+u+z)dudv
因為，變換後的積分割槽域關於u軸和v軸都對稱，
且被積函式1+u+z關於u和v分別為奇函式
所以，∫∫ududv=∫∫vdudv=0
故∫∫(1+u+z)dudv=∫∫dudv=變換後圓域面積=π/2
(但注意，平移的時候能像這樣代入，因為雅克比行列式等於1，其他變換還要乘以雅克比行列式。)
計算二重積分,∫∫(x+y)dxdy,其中d為x^2+y^2≤x+y,在極座標下
4樓：桂琭穆惜寒
這題的積分割槽域---圓域的圓心為（1/2,1/2),半徑為(√2)/2因為圓心非原點,所以無論用直角座標還是極座標,上下限都不好確定.所以應想到把圓域平移到原點處,即用座標變換.但二重積分的座標變換涉及到雅克比公式,一般來說比較麻煩,而此題只是平移,不涉及旋轉,變形之類得,所以可省去雅克比的過程.
令x=(1/2)+u,y=(1/2)+v,則積分圓域變為以（0,0）為圓心,以(√2)/2為半徑.而原積分=∫∫(1+u+z)dudv因為,變換後的積分割槽域關於u軸和v軸都對稱,且被積函式1+u+z關於u和v分別為奇函式所以,∫∫ududv=∫∫vdudv=0
故∫∫(1+u+z)dudv=∫∫dudv=變換後圓域面積=π/2（但注意,平移的時候能像這樣代入,因為雅克比行列式等於1,其他變換還要乘以雅克比行列式.）
5樓：水瓶永遠的信心
如果很不熟練的話，畫個圖就很容易得到積分限了；但是如果區域複雜，也許很難畫出圖來。所以參考下面無需作圖，直接確定積分限的通用方法：
計算二重積分∫∫（x+y）dxdy，其中d為x^2+y^2≤2x.如題 謝謝了
6樓：鍾離潔靜濮伶
樓上錯的，樓上當作矩形區域算了
首先本題區域關於x軸對稱，y關於y是一個奇函式，因此積分為0，所以被積函式中的y可去掉。
∫∫（x+y）dxdy
=∫∫xdxdy
用極座標，x²+y²=2x的極座標方程為：r=2cosθ=∫[-π/2---->π/2]
dθ∫[0---->2cosθ]
rcosθ*rdr
=∫[-π/2---->π/2]
cosθdθ∫[0---->2cosθ]
r²dr
=∫[-π/2---->π/2]
(cosθ)*(1/3)r³
|[0---->2cosθ]
dθ=(8/3)∫[-π/2---->π/2]cos⁴θ
dθ=(16/3)∫[0---->π/2]cos⁴θ
dθ=(16/3)∫[0---->π/2][1/2(1+cos2θ)]²
dθ=(4/3)∫[0---->π/2]
(1+cos2θ)²
dθ=(4/3)∫[0---->π/2]
(1+2cos2θ+cos²2θ)
dθ=(4/3)∫[0---->π/2]
(1+2cos2θ+1/2(1+cos4θ))dθ=(4/3)∫[0---->π/2]
(3/2+2cos2θ+1/2cos4θ)dθ=(4/3)(3/2θ+sin2θ+1/8sin4θ)|[0---->π/2]
=(4/3)(3/2)*(π/2)=π
計算二重積分∫∫（x+y）dxdy，其中d為x^2+y^2≤2x 30
7樓：匿名使用者
樓上錯的，樓上當作矩形區域算了
首先本題區域關於x軸對稱，y關於y是一個奇函式，因此積分為0，所以被積函式中的y可去掉。
∫∫（x+y）dxdy
=∫∫xdxdy
用極座標，x²+y²=2x的極座標方程為：r=2cosθ
=∫[-π/2---->π/2] dθ∫[0---->2cosθ] rcosθ*rdr
=∫[-π/2---->π/2] cosθdθ∫[0---->2cosθ] r²dr
=∫[-π/2---->π/2] (cosθ)*(1/3)r³ |[0---->2cosθ] dθ
=(8/3)∫[-π/2---->π/2] cos⁴θ dθ
=(16/3)∫[0---->π/2] cos⁴θ dθ
=(16/3)∫[0---->π/2] [1/2(1+cos2θ)]² dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (1+cos2θ)² dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+cos²2θ) dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+1/2(1+cos4θ)) dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (3/2+2cos2θ+1/2cos4θ) dθ
=(4/3)(3/2θ+sin2θ+1/8sin4θ) |[0---->π/2]
=(4/3)(3/2)*(π/2)=π
8樓：永恆約定志
d可化為：（x-1）²+y²≤1，得：0≤x≤1，-1≤y≤11 1 1所以：∫∫（x+y）dxdy=∫ dx ∫(x+y)dy=∫ 2xdx=4
0 -1 0
也可以先對x積分
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似紅豆 利用極座標計算二重積分，有公式 f x,y dxdy f rcos rsin rdrd 其中積分割槽域是一樣的。i dx x 2 y 2 1 2 dy x的積分上限是1,下限0 y的積分上限是x,下限是x 積分割槽域d即為直線y x,和直線y x 在區間 0，1 所圍成的面積，轉換為極座標後...
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這道二重積分怎麼算，二重積分怎麼計算？
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