1樓：
粗略的理解, 切線只是曲線在某點鄰域上的一個線性近似.
將沿曲線運動的點換為沿切線運動, 難免產生一定的誤差.
這個誤差的大小一方面依賴於曲線與切線的接近程度,另一方面依賴f(x,y)在該點附近的光滑程度.
對於問題中的例子, 考慮y² = x上的動點(a²,a), 與(0,0)處的切線x = 0上的動點(0,a).
兩點間的距離只有a², 當a趨於0時算是相對高階的無窮小.
但是對於固定的a, f(x,a)在x = 0附近有較為劇烈的變化,表現為偏導數f'x(0,a) = -2/a², 隨a趨於0而趨於無窮.
這導致雖然x變化不大(a²級別), 但是函式值變化還是較大(常數1).
2樓：郭敦顒
郭敦顒回答：
對於舉例f(x,y)=(y^2-x)^2/(y^4+x^2),來說，「自變數以沿著任意直線趨於（0,0）時極限都相等（趨於1）」是有待商討的，
若y= kx，k≠0，則(y^2-x)^2/(y^4+x^2)=[（kx）^2－x] ²/[（kx）^4+（kx）^2]
則x→0，lim f(x,y)= lim f(x)= lim，這是0/0型求極限題，需用羅彼塔法則求解了，
x→0，lim
=[（kx）^2－x]²′/[（kx）^4+（kx）^2]′
=2[（kx）^2－x]× 2k²x/（4 k4x3+2k²x）
=2[（kx）^2－x]/（2k²x²+1）
=0/1=0。
「當點沿著y^2=x趨於（0,0）時，」
顯然， (y^2-x)^2/(y^4+x^2)= (x-x)^2/( 2x^2)=0。
3樓：匿名使用者
極限存在要左右極限相等。如果x,y的定義域有限制，很可能左右極限是不同的。
關於二元函式重極限的存在性的疑問．
4樓：匿名使用者
||||
^f(x,y)=*sin(1/x)
顯然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在當x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0處是波動版
的 所以不存在
而當x->0,y->0時
由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)
而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||權y|=(|x|+|y|)^2
所以|f|<=|x|+|y|
所以顯然當x->0,y->0時，f的極限就為0這個就是你說的，唯一不一樣就是非正常極限是不存在而不是你說的正無窮或負無窮或無窮，我想這個就可以了
就我這個我就線了好久了
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