設函式f x ,g x 在點x 0的某個領域內連續,且limx 0 g x x 1,limx 0 f xg x 的平方

時間 2021-09-08 13:29:03

1樓:北極之遠

證明:由(x→0)limg(x)/x=-1 (極限為-1,分母趨於0,則分子必趨於0)

可知(x→0)limg(x)=0 即g(0)=0於是(x→0)lim[g(x)-g(0)]/(x-0)=-1則g(x)在該鄰域內可導且g'(0)=-1(x→0)limf(x)/g²(x)=2

因為(x→0)limg²(x)=0

則(x→0)limf(x)=0

f(0)=0

對(x→0)limf(x)/g²(x)=2進行變形(x→0)limf(x)/g²(x)

=(x→0)lim[f(x)/x][x²/g(x)]=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx²/g(x) (變成兩個極限之積,並對右邊的極限用洛必達法則)

=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx/g(x)•(x→0)lim1/g'(x)

=(x→0)lim[f(x)/x²]•(-1)•(-1)=2因此f(x)=2x²+o(x)

於是可以得到(x→0)limf(x)/x=0即f'(0)=0即證

2樓:匿名使用者

連續 左極限等於右極限

設函式f(x),g(x)在x=0的某個鄰域內連續,且limx→0g(x)1?cosx=1, limx→0f(x)g2(x)=2,試問:x=0

3樓:匿名使用者

由於1-cosx~12x

(x→0),因此,

由lim

x→0g(x)

1?cosx

=1得到g(x)~12x

(x→0),

∴由lim

x→0f(x)

g(x)

=2,得

limx→0

f(x)

2g(x)

=lim

x→0f(x)12

x=1,且lim

x→0f(x)=0=f(0)又12

x≥0,

因而在x=0的某個鄰域內f(x)≥0

∴x=0是f(x)的極小值點

極值就是f(0)=0

已知函式f(x,y)在點(0,0)的某個鄰域內連續,且limx→0,y→0f(x,y)-xy(x2+y2)2=1,則(  )a.

4樓:巢秀榮容子

當x→0時,

bai3x-1→0,故原極限du形式為:00型,zhi

當x→dao0時,3x-1~ln3

x,ln(1+x)~x,sinx~x,

利用上述內等價無窮小代容

換,計算可得:

limx→0

ln(1+

f(x)

sin2x

)3x?1

=lim

x→0f(x)

2xln3 x=1

2ln3

limx→0

f(x)x2.

所以:1

2ln3

limx→0

f(x)

x2=5,

故:lim

x→0f(x)

x2=10ln3,

故答案為:10ln3.

5樓:十六夜

由lim

x→0,y→0

f(x,y)-xy

(x+y

)=1知,du

因此分母的極zhi限趨於0,故分子的極限必為零,從而dao有f(0,0)=0;

因為極限等版於1;故f(x,y)-xy~(權x2+y2)2(|x|,|y|充分小時),

於是f(x,y)~xy+(x2+y2)2.因為:f(0,0)=0;

所以:f(x,y)-f(0,0)~xy+(x2+y2)2.可見當y=x且|x|充分小時,

f(x,y)-f(0,0)≈x2+4x4>0;

而當y=-x且|x|充分小時,f(x,y)-f(0,0)≈-x2+4x4<0.

故點(0,0)不是f(x,y)的極值點.

故選:a.

已知f(x)在x=0的某個鄰域內連續,且limx->0f(x)/1-cosx=2,則在x=0處f(x)?

6樓:小小芝麻大大夢

limx->0f(x)/(1-cosx)=2。

∵x->0分母1-cosx→0。

極限=2,f(0)→0。

洛必達法則:

lim(x->0)f(x)/(1-cosx)=lim(x->0)f'(0)/sin0,分母依舊為0,極限存在,f'(0)=0。

繼續求導:=lim(x->0)f''(0)/cos0=2。

∴f''(0)=2>0。

∴f(0)=0為極小值。

7樓:人生如戲

前面直接用洛必達的不對,因為題目沒有提到且沒辦法推出f(x)在x=0的某鄰域內可導,只是在某鄰域內連續而已。本題主要通過函式連續的定義、導數定義、函式極限的保號性、極值定義求解。注意判定極值的時候,不能用極值的三個充分條件判定,因為他們的前提都是在x0的某鄰域內可導。

8樓:星丶

由於1-cosx在x=0的左鄰域與右鄰域內都有limx→0 1-cosx>0 由保號性與連續性可知鄰域內的點有limx→0 f(x)=f(x)>0=f(0) 即f(0)是極小值點

由極小值的定義如下:一般地,設函式f(x)在x0附近有定義,如果對x0附近的所有的點,都有f(x)>f(x0),就說f(x0)是函式f(x)的一個極小值,記作y極小值=f(x0),x0是極小值點。

看了他們的答案好像都用到了導數,實際這題考察的是極值的原始定義

9樓:低言淺唱情詩

證明:由(x→0)limg(x)/x=-1 (極限為-1,分母趨於0,則分子必趨於0)

可知(x→0)limg(x)=0 即g(0)=0於是(x→0)lim[g(x)-g(0)]/(x-0)=-1則g(x)在該鄰域內可導且g'(0)=-1(x→0)limf(x)/g²(x)=2

因為(x→0)limg²(x)=0

則(x→0)limf(x)=0

f(0)=0

對(x→0)limf(x)/g²(x)=2進行變形(x→0)limf(x)/g²(x)

=(x→0)lim[f(x)/x][x²/g(x)]=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx²/g(x) (變成兩個極限之積,並對右邊的極限用洛必達法則)

=(x→0)lim[f(x)/x²]•(x→0)limx/g(x)•(x→0)lim1/g'(x)

=(x→0)lim[f(x)/x²]•(-1)•(-1)=2因此f(x)=2x²+o(x)

於是可以得到(x→0)limf(x)/x=0即f'(0)=0

10樓:匿名使用者

前面所bai

有用洛必達的也真是不du

怕誤人子弟啊。

zhi。這題考的是定義啊,偏偏dao正版

確答案放在了最下面。

連續卻未告權知可導,洛洛洛,泰勒都要哭了誒。下面答案中有用定義做的建議提到推薦答案,答案中1-cosx用了泰勒近似1/2x^2+o(x^2)

11樓:緊抱著大神腿

首先 有f(0) = 0; 等價來無窮小 1-cosx ~1/2x2

lim x->0 (f(x)-f(0))/(x-0) = lim x->0 x * f(x)/x2 = 0 所以f'(0) = 0;

lim x->0 ((f(x)-f(0))/(x-0) -f'(0))/(x-0) = f''(x) = lim x->0 f(x) /x2 =1>0;

顯然自因為bai f'(0) = 0; f''(0)>0。所以在x=0處有極小值du!

純手打,有bug的地

zhi方請提出,水平有限有dao誤地方請見諒 謝謝!

設函式f(x)在x=0點的某個鄰域內連續,且limx→0f(x)ex?1=2,則曲線y=f(x)在x=0處的法線方程為______

12樓:寧寧不哭

因為:limx→0

f(x)ex

?1=2,du且zhi

limx→0ex

?1=0,

所以:f(0)=lim

x→0f(x)=0,

利用導數的定dao義可得:

f′(版0)=lim

x→0f(x)?f(0)

x?0=lim

x→0f(x)

x=lim

x→0f(x)ex

?1?ex?1

x=lim

x→0f(x)ex

?1lim

x→0ex?1

x=2.

所以,y=f(x)在x=0的切線的斜率為2,故:權法線斜率為?12,

從而,曲線y=f(x)在x=0處的法線方程為:

y-f(0)=?1

2(x?0),

即:y=?12x.

故答案為:y=?12x.

已知二元函式f(x,y)在點(0,0)的某個領域內連續,且lim( f(x,y)-xy)/((x^2+y^2)^2)=1,其中x,y分別趨於0

13樓:匿名使用者

由已知得,f(x,y)=(x^2+y^2)^2+xy+o(x^2+y^2),所以選a

14樓:heart小盤子

原式兩邊

來都乘以源(x² y²)²,變為

lim(x,y→0,0)f( x,y)-xy=(x² y²)² 可換算為f(x,y)-xy=o(ρ∧5) (x² y²)² 所以,f(x,y)=xy (x² y²)² o(ρ∧5) fx≠0 fy≠0 所以就a

15樓:瀟灑·櫻詩

我只是打醬油的!我什麼都不懂——

設函式f(x)在X0處可導,則lim(h0)f X0 h f X0h

丨me丶洪 選b在x x0處可導,也就是lim f x0 h f x0 h h 0在x x0處的極限存在,這個極限值為f x0 是與x0有關的,但h是一個很小的趨近於0的值,至於為多少不重要,這個極限值與它無關。設函式f x 在點x0處可導,則lim x 0 f x0 4h f x0 h 等於 選擇...

函式f x 在點x0處具有極限是函式f x 在x0處連續的什麼條件?求詳細解答,謝謝

有極限不一定連續 連續一定有極限 必要不充分首先,在xo有極限,說明在x0處左右極限相等,但在x0處的值不一定在,比如y x x不等於0。而連續的條件就是,極限存在並且等於f xo 函式數學? 第1題f負根號2 f根號直接代入解析式去計算,第2題你先計算一下f負x加fx,它應該是一個定值,然後這個記...

x,若x0 f x ax b,若x0在x 0點可導,求a,b

分段函式求導,必須要按定義去求 這兒右導數 lim f x f 0 x f 0 對應的是f x ax b,若x 0,即f 0 b,而b 1 lim sinx x 1 x lim sinx x x 2 lim cosx 1 2x lim sinx 2 0 千萬不能像樓上那樣求導去做。 f x sinx...