1樓：
f(x)在點x=0處可導，即當x→0時，lim(f(x)-f(0))/x 存在
由於f(x)在點x=0處可導，必定在x=0處連續，當x→0時，limf(x)=f(0）=0
當x→0時：lim(f[f(x)]-f[f(0)])/x=lim/x=f'(0)f'(0)
2樓：我是一個老王八
證明：（f（f(t)）-f（0））/t=（（f（f(t)）-f（0））/f（t））*（f(t)/t）①,由於f在0可導，故在0連續。又由於f'(0)≠0，即lim（t趨於0）f（t）/t≠0，設它=a，則存在0的某個去心鄰域u（0，δ），使得其中任意t，有|f（t）/t-a|＜a/2，可得出f（t）/t在此鄰域恆不為0，f（t）恆不為0。
又f在0連續，故①式t趨於0可取極限為（設f（t）=s）：lim（s趨於0）（f（s）-f（0））/s乘以lim（t趨於0）f(t)/t=f『（0）f』（0），即f[f(x)]在0可導.
f『（0)≠0很重要啊，它保證求極限時分母不為0，你看我的回答了嗎······
【考研數學】設f(0)=0則f(x)在點x=0可導的充要條件
3樓：電燈劍客
^選b必要性就不談了，如果f'(0)存在四個選項中的極限都存在，只要看充分性。
a. y = 1-cosh ～ h^2/2 >=0，lim f(y)/y * lim(1-cosh)/h^2 = 1/2 * lim f(y)/y 存在，注意y>=0，所以這個只表明f'(0+)存在，但是並不能說明左導數也存在，比如x>=0時f(x)=x，x<0時f(x)=1。
b. y = 1-e^h ～ -h，lim f(y)/y * lim(1-e^h)/h = -lim f(y)/y，這個說明f'(0)存在。
c. y = h-sinh ～ h^3/3，連階數都不對。
d. f在0點的連續性沒有保障，不用談可導，比如f(0)=0，x非零時f(x)=1。
4樓：小霞
f（0）左右導數存在且相等是可導的充分必要條件
f（0）可導，f（0）必需連續
擴充套件資料：
函式f（x）在某一點是否可導，要判斷f（x）在這個點左右導數存在且相等，如果不存在，不可導，如果不相等，也不可導。
例如：f（x）=|x|，在x=0點連續，不可導，因為在x=0的左右導數不相等
導數（derivative），也叫導函式值。又名微商，是微積分中的重要基礎概念。當函式y=f（x）的自變數x在一點x0上產生一個增量δx時，函式輸出值的增量δy與自變數增量δx的比值在δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'（x0）或df（x0）/dx。
導數是函式的區域性性質。一個函式在某一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率。如果函式的自變數和取值都是實數的話，函式在某一點的導數就是該函式所代表的曲線在這一點上的切線斜率。
導數的本質是通過極限的概念對函式進行區域性的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。
設f(x)為偶函式且在x=0處可導，求f『(0)
5樓：溫墨徹堅亥
f(x)為偶函式，函式關於y軸對稱，因此在x=0處取得極值，故f'(0)=0
6樓：費亭晚崔珍
證明：設可導
的偶函式f(x)
則f(-x)=f(x)
兩邊求導：
f'(-x)(-x)'=f'(x)
即f'(-x)(-1)=f'(x)
f'(-x)=-f'(x)
於是f'(x)是奇函式專
即可導的偶函式的導數是奇函式
類似屬可證可導的奇函式是偶函式
7樓：我是腐女又如何
利用函式在某點處的導數即為過該點的切線的斜率，又知函式為偶函式，可判斷其結果為0
設函式f(x)在x=0處可導，討論函式|f(x)|在x=0處的可導性。
8樓：o客
1. 若函式f(x)在x=0的某個鄰域內不變號，即在這個鄰域內f(x)≥0恆成立，或f(x)≤0恆成立，則在這個鄰域內|f(x)|=±f(x)，
顯然，函式|f(x)|在x=0處可導。
2. 若函式f(x)在x=0的任意鄰域內變號，在這個鄰域內，
不妨設x>0， f(x)>0，
有|f(x)|=f(x) ，這時|f(0+)|』=f』(0+)；
x<0，f(x)<0，有|f(x)|=-f(x)， 這時|f(0-)|』=-f』(0-)。
由函式f(x)在x=0處可導，知f』(0+)=f』(0-).
又由假設知，f』(0)≠0，即f』(0+)=f』(0-)≠0（不然的話，x=0是f(x)的駐點，f(x)在這點將改變增減性，與f』(0+)=f』(0-)矛盾）
所以， 函式|f(x)|在x=0處不可導。
親，舉例如下。
1. y=cosx，y=-x²。
2. y=sinx，y=x.
f(x)在x=0處可導，則f'(x)在x=0處一定連續嗎
9樓：
考研數學上遇到類似的問題，現在明白了。
第一句：f(x)在x=0處可導，由導數定義知，f'+(0)=f'-(0)，也就是在x=0處的左右導數相等。
第二句：f'(x)在x=0處連續，由連續的定義知，f'+(0)=f'-(0)=f'(0)，相當於把導函式看成普通函式，在x=0處的左極限=右極限=這個點的函式值。
這兩者都是導函式的左右極限相等，但是前者不管導函式在x=0處存不存在，後者是導函式在x=0處一定存在且與左右極限相等。
通常用分段函式舉反例：
f(x)=x²sin(1/x) x≠0 ,
f(x)=0 x=0，
這樣，f(x)在x=0處連續，且f(x)在x=0處的導數為 f'(0)=0，而導函式f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) 中，f'+(0)與f'-(0)不存在，所以f(x)在x=0處可導。但是f'(x)在x=0處不連續。
綜上：f(x)在x=0處可導，f'(x)在x=0處不一定連續。
10樓：匿名使用者
不一定經典反例f(x)=x^2sin(1/x)，定義f(0)=0。
f'(0)=0，
當x趨於0時
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)極限不存在。
11樓：匿名使用者
大佬們，是不是這種意思，導函式連續要求，f'(0-)=f'(0+)=f'(0)（f'(0)也就是導函式在這點的定義)，而函式在此點可導，只要求f'(0-)=f'(0+)即可，因此二者並無聯絡。
12樓：匿名使用者
對，對－－－－－－－－－可導一定連續。
13樓：匿名使用者
是的，可導一定連續，連續不一定可導。
14樓：哈哈哈
f(x)可導，代表的是f(x)連續，如果要f'(x)連續，則應該有「f'(x)可導」這個條件，f'(x)可導即f(x)有二階導函式。
15樓：輕塵雨隨
這個問題我在考研的數學裡面看到了，也很疑惑，有個題目是這樣的當x≠0時f(x)=x^(4/3)sin(1/x)，當x=0時，f(x)=0，答案說此f(x)在x=0處可導，然後另一個一樣的題說此f'(x)在x=0處不連續，我就納悶兒了，f'(x)在x=0處可導不就是存在f'(0)嗎？而f'(0)存在的條件不就是左右極限f'(0-)=f'(0+)嗎？既然f'(0-)=f'(0+)了不就是f'(x)在x=0上連續了嗎？
樓上的人好像沒踩到你的點，樓主現在會了嗎？能給我解釋下下嗎？?我超疑惑。。。
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