1樓：其清婉赤蓄
設存在不全為0的實數k1,k2,k3,k4,k5使得
k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0
則(k1+k5)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4+(k4+k5)α5=0
因為向量組α1.α2.α3.α4,α5線性無關，
所以k1+k5=0，k1+k2=0，k2+k3=0，k3+k4=0，k4+k5=0
解得k1=k2=k3=k4=k5=0
所以不存在不全為0的實數使k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0，
所以向量組α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α5,α5+α1線性無關。
2樓：庹菲類靜恬
證明：向量a1,a2,a3,a4線性無關，則有當k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0時，k1=k2=k3=k4=0(性質)，
同理，設m1(a1+a2)+m2(a2+a3)+m3(a3+a4)+m4(a4+a1)=0,整理得
(m1+m4)a1+(m1+m2)a2+(m2+m3)a3+(m3+m4)a4=0,取m1=1,m4=-1,m3=1,m2=-1成立，此時m1,m2,m3,m4全部為零，即線性相關
3樓：洋含李迎秋
(α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1)=(α1,α2,α3,α4)*(10
0111
0001
1000
11)|10
0111
0001
1000
11|=1-1=0
所以向量組線性相關.
因為1*(α1+α2)-(α2+α3)+(α3+α4)-(α4+α1)=0
也可以證得.
4樓：安三羊舌凝然
偶數個這類線性組合線性相關
因為有(α1+α2)
-(α2+α3)
+(α3+α4)
-(α4+α1)=0.
證明如果向量組α1，α2，α3，α4線性無關，則向量組α1+α2，α2+α3，α3+α4，α1+α4線性相關。
5樓：匿名使用者
因為 (α1+α2)-(α2+α3)+(α3+α4)-(α1+α4) = 0
所以 α1+α2，α2+α3，α3+α4，α1+α4 線性相關.
注: 這與向量組α1，α2，α3，α4 是否線性無關沒關係
6樓：匿名使用者
設出線性組合，係數是,k1,k2,k3,k4則化簡得出α1，α2，α3，α4的係數是
k1+k4，k1+k2，k2+k3,k3+k4向量組α1，α2，α3，α4線性無關
則，係數為零
於是k1,k2,k3,k4都等於零
所以無關
已知向量組α1，α2，α3，α4線性無關，則
7樓：頓金生才癸
直接看不出向量之間的線性關係,
用高招解:
(a)(α1+2α2,α2+α3,2α3+α4,α4+α1)=(α1,α2,α3,α4)kk=
1001
2100
0120
0011
|k|=
2-2=0.故
(a)不對.
(b)k=10
0-2-12
000-1
1000
-1-2
|k|=-4-2=-6≠0,
所以k可逆
故r(α1+2α2,α2+α3,2α3+α4,α4+α1)=r(α1,α2,α3,α4)=4
(b)正確.
8樓：益長順晏琬
向量組α1，α2，α3線性無關,所以不存在不全為0的k1k2k3使
k1α1+k2α2+k3α3=0
假設向量組β1=α1,β2=α1+α2,
β3=α1+α2+α3線性相關
則存在l1
l2l3使
l1β1+l2β2+l3β3=0
整理得k1=l1+l2+l3
k2=l2+l3
k3=l3
與已知矛盾
所以向量組β1=α1,β2=α1+α2,
β3=α1+α2+α3也線性無關
已知向量組α1，α2，α3，α4線性無關，則向量組（ ）a．α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1線性無
9樓：匿名使用者
①對於選項a：
∵（α1+α2）+（α3+α4）=（α2+α3）+（α4+α1），∴α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1線性相關．∴選項（a）不正確；
②對於選項b：
∵（α1-α2）+（α2-α3）=-（α3-α4）-（α4-α1），∴α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1線性相關．∴選項（b）不正確；
③對於選項d：
∵（α1+α2）-（α2+α3）=-（α3-α4）-（α4-α1），∴α1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1線性相關．∴選項（d）不正確；
④對於選項c：
令k1（α1+α2）+k2（α2+α3）+k3（α3+α4）+k4（α4-α1）=0
∴（k1-k4）α1+（k1+k2）α2+（k2+k3）α3+（k3+k4）α4=0
∵向量組α1，α2，α3，α4線性無關∴k?k＝0k+k
＝0k+k＝0k+k
4＝0∴k1=k2=k3=k4=0
∴選項（c）正確
故選：c
設向量組α1，α2，α3線性相關，向量組α2，α3，α4線性無關，問：（1）α1能否由α2，α3線性表出？證
10樓：血刺暮晨
（1）∵向量組α1，α2，α3線性相關，
∴向量組α1，α2，α3中至少有一個可以由其他兩個線性表示；
又∵向量組α2，α3，α4線性無關
∴向量組α2，α3，α4中任意一個均不能由其他兩個表示出來；
從而：α2和α3不能相互表示，
即α2和α3是線性無關的；
故：α1能由α2，α3線性表出．
（2）∵α1能由α2，α3線性表出，且向量組α2，α3，α4線性無關，
∴α1和α4是線性無關的；
從而：α4不能由α1，α2，α3線性表出．
已知向量組α1α2α3線性無關,證明α1+α2,α2+α3,α1+α3 線性無關
11樓：假面
證明：設k1(α1 + 2α2) + k2(α2 + 2α3) + k3(α3 + 2α1)=0，其中：k1，k2，k3為常數，得：
(k1 + 2k3)α1 + (2k1 + k2)α2 + (2k2 + k3)α3=0，且α1，α2，α3線性無關→ k1 + 2k3=0 2k1 + k2=0 2k2 + k3=0
解得：k1=k2=k3=0
故：向量組α1 + 2α2，α2 + 2α3，α3 + 2α1線性無關。
在三維歐幾里得空間r的三個向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關，因為第三個是前兩個的和。
12樓：匿名使用者
設啊，a,b,c為係數，線性相關，化簡之後令α1,α2,α3之前的係數為0，則可得a=0,b=c=0,所以線性無關！可證得
13樓：茹翊神諭者
簡單計算一下即可，答案如圖所示
若向量組A a1，a2an線性無關，則R（a1，a
小貝貝老師 結果為 3 向量組a1，a2，a3線性無關 向量組a1，a2，a3的秩為3 向量組a1，a2，a4線性相關 4 1 1 2 2 向量組a1，a2，a3，a4可以轉化為 1 1 1，2 1 2，3 向量組a1，a2，a3的秩為3 1 1 1，2 1 2，3的秩為3 向量組a1，a2，a3，...
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