1樓:直至有一天
單調遞增。簡單地說,將a=1/2代入原式,因為x∈[1,+∞),你就分別代x=1,2時,可得出f(1)
2樓:
(1)單調遞增,在定義域上任設x1 x2,且x1
得(x1-x2)*[x1+x2+2-1/(2x1x2)] 可得該式的值小於零所以單調遞增 (2)同理可證該式單調遞增所以f1為最小值
3樓:策
對函式求導 之後的出來的結果是 恆大於0 所以遞增
最後 同理證明 也是單調遞增 所有x=1 是f(x)有最小值
4樓:匿名使用者
⑴當a=1/2時,f(x)=x^2+2x+1/2x在x∈[1,+∞)時單調遞增的。
證:令x1>x2>=1
f(x1)-f(x2)=x1^2+2x1+1/2x1-x2^2+2x2-1/2x2
=(x1+x2)(x1-x2)+2(x1-x2)+(x2-x1)/2x1x2
=(x1+x2)(x1-x2)+(4x1x2-1)(x1-x2)/2x1x2
x1-x2>0
x1x2>1,即4x1x2>1
所以f(x1)-f(x2)>0
所以在x∈[1,+∞)時單調遞增的。
2、a=-1,則f(x)=x^2+2x-1/x
可以通過上面的方法知道a=-1時,x∈[1,+∞)時也是單調遞增的
所以f(x)min=f(1)=1+2-1=2
已知函式f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈【1,正無窮)。a=1/2,函式最小值為多少?
5樓:匿名使用者
a=1/2
f(x)=x+0.5/x+2
由單調性證明f(x)在【√2/2,+無窮)是單調遞增的所以當x=1時取最小值為7/2
任意x∈〖1,+∞),(x^2+2x+a)/x≥0均成立。
所以x²+2x+a≥0恆成立
(x+1)²≥1-a恆成立
所以x+1≥√(1-a)
或x+1≤-√(1-a)
x≥√(1-a) -1
或x≤-√(1-a) -1
其解集應為:x≥1
所以√(1-a) -1<1
1-a<4
a<-3
6樓:匿名使用者
我只做第二問,
f(x)>0恆成立,則有
(x^2+2x+a)/x>0,
x+2+(a/x)>0,
a/x>-(x+2),而,x∈【1,正無窮)。
a>-(x+2)x=-x^2-2x,
令,g(x)=-x^2-2x,x∈【1,正無窮)。
g(x)=-(x+1)^2+1.
g(x)對稱軸x=-1,拋物線開口向下,
當x=1時,g(x)有最大值,g(x)max=g(1)=-1-2=-3.
只有當a>g(x)最大值時,f(x)>0恆成立,即有,a>-3.
7樓:惹待風暴
f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈【1,正無窮)。a=1/2.
y=(x^2+2x+1/2)/x=x+1/2x+2,在[根號2/2,正無窮)遞增。(0,根號2/2】遞減。最小值為f(1)=3.5
f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+a/x+2,.........
已知函式f(x)=﹙x²+2x+a)/x,x∈[1,﹢∞﹚,若a為正常數,求f(x)的最小值
8樓:玉杵搗藥
f(x)=(x²+2x+a)/x
f'(x)=[(2x+2)x-(x²+2x+a)]/x²
f'(x)=(x²-a)/x²
1、令:f'(x)>0
即:(x²-a)/x²>0
解得:x>√a,或x<-√a
即:x∈(√a,∞)∪(-∞,-√a)時,f(x)是單調增函式;
2、令:f'(x)<0
即:(x²-a)/x²<0
解得:-√a<x<√a,
即:x∈(-√a,√a)時,f(x)是單調減函式;
3、令:f'(x)=0,
即:(x²-a)/x²=0
解得:x=±√a
即:x=√a、x=-√a是f(x)的兩個拐點。
綜上所述,有:
x=-√a,是f(x)的極大值點;x=√a是f(x)的極小值點。
函式f(x)的極小值是:f(√a)=(a+3√a)/(√a)=√a+3;
函式f(x)的極大值是:f(-√a)=(a-√a)/(-√a)=1-√a。
若:1≥√a,即a≤1,f(x)處於單調增區間,所求最小值是f(1)=3+a
若:-√a<1<√a,即:a>1,f(x)處於單調減及單調增區間,x=√a是f(x)的最小值點,所求最小值為3+√a。
綜上所述:
當0<a≤1時,函式的最小值是f(1)=3+a
當a>1時,函式的最小值是f(√a)=3+√a
9樓:合肥三十六中
f(x)=x+a/x+2
f '(x)=1-a/x²=(x²-a)/x²(1)如果a >1,導函式f 『(x)在【1,+∞)上先負後正,對應的原函式就先減後增,
f(min)=f(a)=a+3
(2)如果a=1時,f '(x)≥0
f(x)在【1,+∞)上單調增,
f(min)=f(1)=4
(3)如果a<1時,
f '(x)>0
f(x)在【1,+∞)上單調增,
f(min)=f(1)=4
10樓:
f(x)=x+a/x+2
因為a>0, x>=1, x+a/x>=2√(x*a/x)=2√a, 當x=a/x, 即x=√a時取最小值。
如果a>=1, 則f(x)的最小值為f(√a)=2√a+2如果0=1內,在x>√a區間,函式單調增,因此最小值為f(1)=a+3.
11樓:匿名使用者
f(x)=x+2+a/x=x+a/x+2.
x+a/x>=2根號a.
所以f(x)≥2根號a+2.所以最小值是2根號a+2
已知函式f(x)=x²+2x+a/x,x∈【1,正無窮),若a=1/2,判斷函式f(x)在[1,正無窮)上的單調性,並用定義
12樓:匿名使用者
解:1.
令x1,x2∈[1,+∞),且x1f(x2)同時只有一種關係恆成立
而:f(x1)-f(x2)
=(x1-x2)[x1+x2+2-2/x1x2]
要滿足上述關係,只要x1+x2+2-1/ax1x2恆大於0或者恆小於0即可
令g(x)=x1+x2+2-a/x1x2
易知:x1+x2+2≥4
0<1/x1x2<1
-1<-1/x1x2<0
而當a=4時,g(x)>0,即:f(x1)>f(x2),f(x)是單調遞減函式
當a<4時,g(x)<0,即:f(x1)<(fx2),f(x)是單調遞增
當a>4時,g(x)與0關係不能確定,即:f(x1)與(fx2)的關係不能確定
綜上:當a≤4時,f(x)是單調函式
13樓:鄧秀寬
解:a=1/2 f(x)=x^2+2x+1/2x假設 x1,x2在[1,正無窮)上 不妨設x10所以 f(x)在[1,正無窮)上的單調遞增。
f'(x)=2x+2-a/x^2=(2x^3+2x^2-a)/x^22x^3+2x^2-a的最小值在x=1點取得 為4-a所以令4-a>=0 即 a<=4.時函式單調遞增。
a的範圍是a<=4.
有疑問請追問 滿意請及時採納。
已知函式f(x)=(x^2+ 2x+ a)/x,x屬於[1,正無窮)
14樓:匿名使用者
f(x)=(x²+2x+a)/x=x+2+(a/x)1)當a=1/2時,f(x)=x+2+(1/2x)設1≤x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1+2+(1/2x1)-x2-2-(1/2x2)=(x1-x2)+(x2-x1)/(2x1x2)=(x1-x2)[1- 1/(2x1x2)]
∵1≤x1<x2,∴2x1x2>2
∴1/(2x1x2)<1,∴1- 1/(2x1x2)>0又x1-x2<0
∴f(x1)-f(x2)<0
∴f(x)在[1,+∞)上是增函式;
∴當x=1時,f(x)=x+2+(1/2x)取得最小值為:f(1)=7/2
2)f(x)=(x²+2x+a)/x>0
∵x≥1,
∴(x²+2x+a)/x>0等價於:x²+2x+a>0∴a>-x²-2x=-(x+1)²+1恆成立;
又x≥1,∴-(x+1)²+1≤-3;
要使得a>-(x+1)²+1恆成立;
則需a>-3;
15樓:匿名使用者
第一問帶入a,利用均值不等式求解
第二問由題意等價於求a>-(x^2+ 2x)對於x屬於[1,正無窮)恆成立,只要a大於-(x^2+ 2x)在[1,正無窮)上的最大值即可
已知a屬於R,函式f xx 2 ax e x若函式
解 f x x 2 ax e x 對函式求導f x x 2 ax e x 2x a e x x 2 a 2 x a e x 函式f x 在 1,1 上單調遞增 所以 x 2 a 2 x a e x 0又e x恆大於0,因此不等式轉化為 x 2 a 2 x a 0因為函式y x 2 a 2 x a開口...
已知a屬於R,函式f(xx 2 ax)e x(x屬
下雪了之雪融 f x x 2 ax e x f x x 2 ax 2x a e x e x x 2 a 1 x 2x 又 f x 在 1,1 內單調遞增 在 1,1 內,f x 0 即 x 2 a 1 x 2x 0 a 1 x x 2 2x,1 x 0 a x 2 2x 1 x 令g x x 2 2...
已知函式f(x)x 2 x a(2 lnx)(a大於0 ,討論f(x)的單調性
定義域x 0.f x 導數 1 2 x 2 a 1 x 令其大於等於0,得a x 1 1 x 2,所以a x 1 x 因為x 0,x 1 x 2,所以當02時,令f x 導數 0,解得 a 根 a 2 4 2 a 根 a 2 4 2時單調遞增 綜合得,1 a 2時,f x 單調遞增 2 當a 2時,...