1樓：風清響
函式某點可導的充要條件不是左導數、右導數都存在且相等，這個沒錯，但是這個是說函式要連續，但是並不意味著導函式也要連續。
函式可導只能推出連續，不可能推出導函式也連續。
關於間斷點
首先我們討論一下原函式的存在性：
1.當f(x)連續時，一定存在原函式f(x)
2.當f(x)存在第一類間斷點時，一定不存在原函式。
言外之意就是，f(x)存在第二類間斷點時，可以存在原函式。
然後我們來討論你的問題，首先導函式不一定是連續函式，前面已經講了。那麼我們來討論，導函式的間斷點是否必須為第二類。
既然是「導函式」，說明是某函式求導得到的函式。也就是說，該「導函式」一定是有原函式的。
既然有原函式，根據前面的原函式存在性定理，那麼必須不能有第一類間斷點，可以是連續的，
下面給出詳細的證明。
首先我們要搞清楚，導數的左（右）極限=左（右）導數的條件是什麼。
設f(x) 在x=c點鄰域內連續，可導。且導函式在c點左右兩側極限存在（假設極限為a）。
f`(c-0)=lim(f(x)-f(c))/(x-c)，由羅比達法則，f`(c-0)=limf`(x)=a
x-c-
也就是此時左導數=導數的左極限=a
同理此時右導數=導數的右極限=a
下面我們證明，導數的間斷點只能是第二類間斷點。
反證法：假設x=c是導函式f`(x)的間斷點，且是第一類間斷點（即limf`(x)=a和limf`(x)=a都存在）
因為limf`(x)=a和limf`(x)=a都存在，則f`(c-0)=f`(c+0)，也就是說，x=c是導函式f`(x)的連續點。
矛盾。所以只能是第二類間斷點。
2樓：匿名使用者
連續函式的導函式具有介值性(書上應該有證明吧),不會有一類間斷點,因為一類間斷點左右極限都存在,但是不相等,左右極限中間的那些值沒有原象,所以與介值性是矛盾的
3樓：匿名使用者
這不是微分學,這是積分學。高數上(同濟第六版)第5章有兩個定理,不過書上沒給出證明(不做深入討論)定理一是連續函式一定有原函式,定理二是函式f(x)在[a,b]上有界並有有限個間斷點,則函式f(x)有原函式
4樓：匿名使用者
函式可導,那一定有原函式,什麼函式才有原函式?這是積分學研究的東西,結論是:連續函式或者在定義域內只有第一類間斷點的函式有原函式。
第一類間斷點是說左極限和右極限都存在,可以相等可以不相等。相等的是可去間斷,不相等的是跳躍間斷
5樓：風雲遠散
函式可導，就說明導函式在該點有定義，所以只要可導，導函式就不存在無定義的點，
如果原函式連續，那麼導函式要麼連續，要麼含有第二類間斷點，不會是第一類
6樓：匿名使用者
如果是第一類,那就連續了
7樓：匿名使用者
不知道樓主哪看來的,你說的導函式應該是在它的定義域內都可導,那麼肯定是連續的,可導一定連續,連續不一定可導
導函式不一定是連續函式？而且間斷點只能是第二類？
8樓：風清響
函式某點可導的充要條件不是左導數、右導數都存在且相等，這個沒錯，但是這個是說函式要連續，但是並不意味著導函式也要連續。
函式可導只能推出連續，不可能推出導函式也連續。
關於間斷點
首先我們討論一下原函式的存在性：
1.當f(x)連續時，一定存在原函式f(x)
2.當f(x)存在第一類間斷點時，一定不存在原函式。
言外之意就是，f(x)存在第二類間斷點時，可以存在原函式。
然後我們來討論你的問題，首先導函式不一定是連續函式，前面已經講了。那麼我們來討論，導函式的間斷點是否必須為第二類。
既然是「導函式」，說明是某函式求導得到的函式。也就是說，該「導函式」一定是有原函式的。
既然有原函式，根據前面的原函式存在性定理，那麼必須不能有第一類間斷點，可以是連續的，
下面給出詳細的證明。
首先我們要搞清楚，導數的左（右）極限=左（右）導數的條件是什麼。
設f(x) 在x=c點鄰域內連續，可導。且導函式在c點左右兩側極限存在（假設極限為a）。
f`(c-0)=lim(f(x)-f(c))/(x-c)，由羅比達法則，f`(c-0)=limf`(x)=a
x-c-
也就是此時左導數=導數的左極限=a
同理此時右導數=導數的右極限=a
下面我們證明，導數的間斷點只能是第二類間斷點。
反證法：假設x=c是導函式f`(x)的間斷點，且是第一類間斷點（即limf`(x)=a和limf`(x)=a都存在）
因為limf`(x)=a和limf`(x)=a都存在，則f`(c-0)=f`(c+0)，也就是說，x=c是導函式f`(x)的連續點。
矛盾。所以只能是第二類間斷點。
9樓：匿名使用者
這句話的前提應該是導函式在某個區間上存在，然後再討論導函式的連續性問題。而不是原函式的連續性問題。
正是因為導數存在，所以如果導函式f'(x)的間斷點是第一類間斷點，那麼左右導數的極限就存在且不等，於是原函式f(x)不可導，與前提矛盾。所以只能是第二類間斷點。
10樓：匿名使用者
是導函式有間斷點。具體的經典例子是f(x)=x^2 sin (1/x) （的導函式）在x=0的情形。
可以證明導函式滿足中介值性質，是說如果f'(a)>0，f'(b)<0，那麼存在a,b之間的一個c滿足f'(c)=0（跟連續函式的中介值性質是一樣的）。證明想法簡述如下。不妨假定a0，使得
(f(a+h)-f(a)) / h >0，也就是a點旁邊的一段割線的斜率大於0，類似b點旁邊一段割線的斜率小於0。那麼a、b之間有一段割線的斜率等於0，也就是f(p+h)=f(p)，其中a 根據rolle或者lagrange中值定理，有f'(c)=0，其中c是某個p和p+h之間的數。 有中介值性質就不能有導函式在一點左右極限不相等的那種間斷點。 為什麼導函式的間斷點只能為第二類間斷點？求答案 11樓：摩廣英懷妍 直觀想下，第一了間斷點其實還是在極限存在的情況下的，第二類就徹底沒的了。導函式是對原函式的斜率，所以斜率要麼是存在的，要麼是無窮的啊，所以只能是第二類間斷點，我看全書的時候就這麼想的，不知道對不對哈。 12樓：首蕊騎鶯 導函式f'(x0)存在，那麼f'(x0)=lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在（左趨近、右趨近都存在且相等）若f'(x)在x=x0處為跳躍間斷點，則lim左趨近 f'(x)不等於lim右趨近 f'(x)，而lim左趨近 [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim右趨近[f(x)-f(x0)]/(x-x0)用洛必達法則可知，lim左趨近f'(x)=lim右趨近 f'(x)矛盾若f『(x)在x=x0處為可去間斷點，這和f'(x0)是x=x0處的導數定義式f'(x0)=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=limf'(x) （洛必達法則）相矛盾綜上，f'(x)在x=x0處不可能有第一類間斷點 函式可導，那麼它的導函式不一定連續，這個導函式間斷點的型別是否有限制，導函式會不會出現無定義點？ 13樓：愛作你的兔子 函式可導，就說明導函式在該點有定義，所以只要可導，導函式就不存在無定義的點， 如果原函式連續，那麼導函式要麼連續，要麼含有第二類間斷點，不會是第一類 風清響 函式某點可導的充要條件不是左導數 右導數都存在且相等，這個沒錯，但是這個是說函式要連續，但是並不意味著導函式也要連續。函式可導只能推出連續，不可能推出導函式也連續。關於間斷點 首先我們討論一下原函式的存在性 1.當f x 連續時，一定存在原函式f x 2.當f x 存在第一類間斷點時，一定不... 首先，幾個基本初等函式，如三角函式，指數函式，對數函式，冪函式這些函式在其定義域內是連續的，這點毋庸置疑。其次，初等函式是指基本初等函式經過有限次加減乘除，乘方，開方，複合所得到的函式，在其定義域內當然是連續的，但是在定義域外仍然有可能存在間斷點。這個怎麼說呢，間斷點是有三種，一種是跳躍間斷點，一種... 你的這個問題過於籠統 既沒有說定義域，也沒有限制函式範圍！不過你的意思應該是 可導函式的導函式在原函式的可導定義域內一定連續嗎？答案是肯定的。一樓的回答肯定是錯誤的，因為x 0不在函式定義域內二樓同樣錯誤，斜率無窮大的點不存在，因為斜率垂直x軸的那個點就是他所說的斜率無窮大的點，這點明顯不可取即不在...導函式不一定是連續函式？而且間斷點只能是第二類
連續函式可以有間斷點？怎麼理解啊
可導函式的導函式一定連續嗎，是連續不一定可導，可導一定連續嗎