1樓：匿名使用者
消去z，(x^2+y^2)^2=2-(x^2+y^2), (x^2+y^2)^2+(x^2+y^2)-2=0,
{(x^2+y^2)-1][(x^2+y^2)+2]=0, 後者大於零，則
x^2+y^2=1, 即為積分割槽域d。
s1=∫∫√[1+(z')^2+(z')^2]dxdy =∫∫√(1+4x^2+4y^2)dxdy
=∫<0,2π>dt∫<0,1>√(1+4r^2)rdr = (π/4)∫<0,1>√(1+4r^2)d(1+4r^2)
=(π/6)(5√5-1);
s2=∫∫√[1+(z')^2+(z')^2]dxdy
=∫∫√[1+x^2/(2-x^2-y^2)+y^2/(2-x^2-y^2)]dxdy
=√2∫∫[1/√(2-x^2-y^2)]dxdy
=√2∫<0,2π>dt∫<0,1>1/√(2-r^2)rdr
= -π√2∫<0,1>1/√(2-r^2)d(2-r^2)=(4-2√2)π.
所求 s = s1+s2 = (π/6)(5√5-1)+(4-2√2)π.
2樓：匿名使用者
首先，這兩個方程，以找到兩個平行表面相交的曲線。通過消去z與，我們得到：
2-x 2 = x 2 2 y 2
即×2 + y 2 = 1
因此，該曲線是一個半徑的圓柱形表面。所以x和整合y的限制，很容易找到：x 2 + y 2 = 1
要查詢的z積分限，我們只需要知道其中兩個表面之上，這是低於。因為封裝在氣缸內的容積，所以要求使x 2 + y 2 ×2 2 y 2，即z = 2×2在上面的，z =×2 2以下的y 2。
根據上面的討論，我們可以寫出體積積分：
ν=∫∫∫dxdy _（×2 +2 y 2）^（2×2）dz 在這裡，我的符號_（×2 +2 y 2）為了表達對低積分，^（2×2）限制z積分表示式。 （請記住整合xy限制的圓形×2 + y 2 = 1。）
積分用於z容易：
∫_（×2 +2 y 2）^（2×2 ）dz =（2×2） - （×2 +2 y 2）= 2-2x 2-2y 2
剩下的就是對雙點在xy。
ν=∫∫（2-2x 2-2y 2）dxdy
這個積分在極座標系中最容易做的。為極座標，x 2 + y 2 = r 2，dxdy =rdrdφ。為r的信用額度從0到1，φ從0到2π。
ν=∫∫（2-2x 2-2y 2）dxdy =∫_0 ^ 1（2-2r 2）rdr∫_0 ^（2π）的dφ
兩點各：
br />∫_0 ^（2π）的dφ=2π
∫_0 ^ 1（2-2r 2）rdr = r 2 - （1/2）r ^ 4 | _0 ^ 1 = 1/2
> v =（1/2）2π=π
所以體積為π。
微積分二重積分的應用：求立體的體積 求由曲面z=xy,x+y+z=1，z=0所圍成立體的體積。
3樓：
借用下：
求兩個曲面z=2-4x^2-9y^2與 z=√（4x^2+9y^2）所圍立體的體積v
解：設x=rcosθ/2,y=rsinθ/3，r＞0，則原來的兩個曲面方程化為
z=2-r²,z=r,它們的交線是r=1,z=1v=∫∫[(2-4x²-9y²)-√(4x²+9y²)]dxdy=(1/2)×(1/3)∫<0,2π>∫<0,1>r(2-r²-r)drdθ
=(π/3)∫<0,1>(2r-r²-r^3)dr=(π/3)(r²-r^3/3-r^4/4)|<0,1>=5π/36
4樓：匿名使用者
z＝xy是雙曲拋物面，就是馬鞍面。
立體在xy座標面上的投影是由x軸，y軸，直線x+y＝1圍成的區域d。兩個曲面z＝xy，x+y+z＝1的交線在xy座標面上的投影是曲線：xy＝1－x－y，此曲線把區域d分成兩部分。
d1由曲線xy＝1－x－y與x+y＝1圍成，d2由x軸，y軸，xy＝1－x－y圍成。
立體的邊界曲面中曲面z＝xy的部分在xy座標面上的投影是d2，曲面z1－x－y的部分在xy座標面上的投影是d1。
所以體積
計算三重積分i=∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz,其中是ω由曲面z=(x^2+y^2)^(1/2)與z=2-x^2-y^2所圍成的閉區域
5樓：曉龍修理
結果為：
解題過程如下：
求三重積分閉區域的方法：
設三元函式f(x,y,z)在區域ω上具有一階連續偏導數，將ω任意分割為n個小區域，每個小區域的直徑記為rᵢ（i=1,2,...,n），體積記為δδᵢ，||t||=max，在每個小區域內取點f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)δδᵢ。
若該和式當||t||→0時的極限存在且唯一(即與ω的分割和點的選取無關)，則稱該極限為函式f(x,y,z)在區域ω上的三重積分，記為∫∫∫f(x,y,z)dv，其中dv=dxdydz。
設三元函式z=f(x,y,z）定義在有界閉區域ω上將區域ω任意分成n個子域δvi(i=123…，n）並以δvi表示第i個子域的體積.在δvi上任取一點。
果空間閉區域g被有限個曲面分為有限個子閉區域，則在g上的三重積分等於各部分閉區域上三重積分的和。
先一後二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。區域條件：對積分割槽域ω無限制；函式條件：對f（x,y,z）無限制。
先二後一法（截面法）：先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。區域條件：
積分割槽域ω為平面或其它曲面（不包括圓柱面、圓錐面、球面）所圍成函式條件：f（x，y）僅為一個變數的函式。
6樓：匿名使用者
第四題你的寫法是對的，答案應該不是16π/3
另外，你的做法並不是柱座標系計算，而是極座標計算，下面給出柱座標系的計算，你會發現最終答案和你是一樣的
第三題的列式是對的，具體計算沒細看
7樓：匿名使用者
選用柱座標表示：0≤θ≤2pi，0≤r≤1，r2≤θ≤2-r2，
計算∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz, 積分割槽域由曲面z=2-x^2 和z=x^2+2y^2所圍成的閉區域，**等
8樓：匿名使用者
解：∵方程z=2-x²和z=x²+2y²，求得x²+y²=1∴所圍成的閉區域在xoy平面上的投影是圓s：x²+y²=1故∫∫∫<ω>(x²+y²)dxdydz=∫∫(x²+y²)dxdy∫dz
=∫∫(x²+y²)[(2-x²)-(x²+2y²)]dxdy=2∫∫(x²+y²)(1-x²-y²)dxdy=2∫<0,2π>dθ∫<0,1>r²(1-r²)rdr (作極座標變換)
=4π∫<0,1>(r³-r^5)dr
=4π(1/4-1/6)
=π/3。
說明：要快速判斷曲面的影象，你必須要記住一些基本函式影象。例如此題中的，z=2-x²是
拋物曲面，z=x²+2y²是橢圓拋物曲面。
計算由曲面z=2-x^2-y^2及z=√(x^2+y^2)所圍成的立體的體積
9樓：您輸入了違法字
首先將兩個方程並列找出兩個曲面相交的曲線.通過消去z,得到：
2-x²=x²+2y²
即x²+y²=1
所以,此曲線位於半徑為1的圓柱面上.那麼x和y的積分限很容易就找到了：x²+y²=1
要找到z的積分限,就需要知道兩個曲面哪個在上面,哪個在下面.因為所包的體積在圓柱內部,所以要求x²+y²<1.用這個條件,我們發現2-x²>x²+2y²,即z=2-x²在上面,z=x²+2y²在下面。
根據上面的討論,我們就可以寫出體積分：
v=∫∫dxdy∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz
這裡用符號_(x²+2y²)來表達z積分的下限,^(2-x²)表達z積分的上限.(記住xy積分限是圓形x²+y²=1.)
對z的積分很容易：
∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²
剩下的就是對xy的兩重積分。
v=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy
這個積分最容易在極座標裡做.變換為極座標時,x²+y²=r²,dxdy=rdrdφ.積分限為r從0到1,φ從0到2π.
v=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(2-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ
兩個積分各為：
∫_0^(2π)dφ=2π
∫_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2
v=(1/2)2π=π
所以體積是π。
10樓：cyxcc的海角
聯立方程，消去z得交線在xoy面的投影曲線為x^2+y^2=1,所以v=∫∫x^2+y^2＜=1(2-x^2-y^2-√(x^2+y^2))dxdy=5∏/6(二重積分自己算一下吧)
三重積分怎麼確定z的上下限大小，即誰作上限誰作下限。比如，由曲面z=x²+y²及z=2-x²所圍
11樓：匿名使用者
看z座標的大小，也就是曲面的上下位置。
z=x²+y²≥0，沿z軸向上。z=2-x²≤2，沿z軸向下。所以圖形的形狀就大致有了，z=2-x²在上，z=x²+y²在下。
高等數學三重積分問題，高等數學三重積分計算問題，要詳細過程，本人小白
西域牛仔王 二重積分是計算曲邊多面體體積，當被積函式 1 時，在數值上等於積分割槽域面積。同理，定積分計算曲邊梯形面積，當被積函式 1 時，在數值上等於積分割槽間長度。因此，當被積函式 1 時，三重積分在數值上等於積分割槽域的體積。 本例題都是用截面法求體積。v1 是球體的一部分，x 2 y 2 z...
大一高等數學，重積分
怎麼來的？基於以下兩點 下面的 1 的兩端，只是字母不同，因此它們相等 2 是個不定積分公式，在本題中，a 1 u x或y 布霜 解 1大題 1 小題，d 原式 0,1 dx x,2x x y dy 0,1 4x 3 dx 1 3。2 小題，d 原式 1,0 dx x 1,x 1 y x dy 0,...
證明題，曲面積分，高等數學，曲面積分和體積分的證明題，求教
技巧就是 太明顯了，e x x 2 y 2 z 2 c，就是原函式啦。因為有 e x x 2 y 2 z 2 這個因式，根據對數的性質，知道原函式一定有這個東西啊，在檢驗一下就發現這個東西對各個變數的偏導 正好是題目中的 或者 因為那個式子是全微分，故可取從 x0,y0,z0 到 x，y，z 的積分...