1樓：浩笑工坊
首先積分曲面關於xoz，yoz平面都是對稱的，而被積函式（x＋y）分別是關於x，y的奇函式，所以∫∫（x＋y）＝0，原積分＝∫∫zds，而（z＇x）＾2＋（z＇y）＾2＋1＝x＾2／z＾2＋y＾2／z＾2＋1＝a＾2／z＾2，所以積分＝∫∫azdxdy／z＝a∫∫dxdy＝πa＾3
求曲面z＝xy／a被柱面x＋y＝a所割下部分的面積a．z／x＝y／a；z／y＝x／a，積分域dxy：圓心在原點，半徑r＝a的園．a＝［dxy］∫∫√［1＋（z／x）＋（z／y）］dxdx＝［dxy］∫∫√［1＋（x＋y）／a］dxdy＝［dxy］（1／a）∫∫√（a＋x＋y）dxdy為便於計算，換
既然是上半球面,那麼z>=0.教材上的式子由於有根號的限制,可以滿足條件.但是你寫的那個方程,是整個球面方程,包括了z<0的部分
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對座標的曲線積分的計算方法：
(1)直接計算方法，引數方程表示式直接代入，轉換為定積分計算的方法。注意定積分下限為起點對應的引數，上限為終點對應的引數。
（2）兩類曲線積分之間的關係，注意方向餘弦構成的切向量的方向應與曲線方向一直。
（3）格林公式，當積分曲線為空間曲線時，則使用格林公式。（注意三個條件：封閉性，方向性與偏導的連續性）。
（4）積分與路徑無關（格林公式）。
2樓：春天的離開
把上半球面z＝√（1－x＾2－y＾2）投影到xoy平面上，得圓x＾2＋y＾2＝1，利用極座標，
原積分＝∫（sinθ）＾3dθ∫r＾4dr（r積分限0到1，θ積分限0到2π），∫r＾4dr＝1／5，∫（sinθ）＾3dθ
＝－∫（sinθ）＾2dcosθ＝∫［（cosθ）＾2－1］dcosθ＝（cosθ）＾3／3－cosθ＝0，
所以積分＝0其實本題可利用對稱性，由於積分曲面關於x軸對稱，而被積函式是關於y奇函式，所以積分＝0
被積曲面方程z＝（a＾2－x＾2－y＾2）＾（1／2），則z＇x＝－2x／2（a＾2－x＾2－y＾2）＾（1／2）
＝－x／z，同理z＇y＝－y／z，所以［1＋（z＇x）＾2＋（z＇y）＾2］＾（1／2）＝（1＋x＾2／z＾2＋y＾2／z＾2）＾（1／2）＝a／z，
所以積分＝∫∫z［1＋（z＇x）＾2＋（z＇y）＾2］＾（1／2）dz＝a∫∫dxdy，而∫∫dxdy等於被積曲面在xoy平面上投影的面積，將兩方程聯立，得x＾2＋y＾2＝a＾2／2
即投影圓半徑的平方＝a＾2／2，面積＝πa＾2／2，所以原積分＝πa＾3／2
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計算∫根號（2y＾2＋z＾2）ds，其中l為球面x＾2＋y＾2＋z＾2＝3與平面x＝y相交的圓周
x＾2＋y＾2＋z＾2＝3與x＝y相交的圓周為一個球大圓，
且方程滿足：2y＾2＋z＾2＝3，（只需將x＝y代入球方程即可）
第一類曲線積分可以用曲線方程化簡被積函式
因此原式＝∫√3ds
＝√3∫1ds
被積函式為1，積分結果是曲線弧長，即球大圓的周長
＝√3＊2π＊√3＝6π
高數二重積分題，設∑為上半球面z=√(a^2-x^2-y^2)的上側，則∫∫∑xydydz+yz
3樓：匿名使用者
解題過程如copy下圖：
積分的線性性質du
性質1 （積分可加性） 函式zhi和（差）的二重積分等於dao各函式二重積分的和（差）。
性質2 （積分滿足數乘） 被積函式的常係數因子可以提到積分號外。
比較性性質3 如果在區域d上有f(x,y)≦g(x,y)估值性性質4 設m和m分別是函式f(x,y)在有界閉區域d上的最大值和最小值，σ為區域d的面積。
性質5 如果在有界閉區域d上f(x,y)=k（k為常數)，σ為d的面積，則sσ=k∫∫dσ=kσ。
4樓：匿名使用者
補上底面後使用高斯公式：
5樓：樓蘭閔澤
高數曲面積 設∑球面x^2+y^2+z^2=a^2,則曲面積(x+y+z)^2ds=?
原式=∫∫
回(x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz)ds=∫∫(x2+y2+z2)ds+∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds
=∫∫a 2ds +0+0+0
=a2 ?4πa2
=4πa^4
注：1、∫∫(x2+y2+z2)ds=∫∫a 2ds （利答用曲面積曲面程代入）
2、∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds=0+0+0 （利用曲面積稱性）
計算第一型曲面積分：∫∫(x+y+z)da , ∑為上半球面z=√(a^2-x^2-y^2) (a>0)
6樓：y妹子是我
解答bai過程如下：
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第一du形zhi曲dao線積分和第二形專曲線積分割槽別
一、方法不同
第一型曲面積屬分最基本的計算方法就是同第二型曲面積分一樣, 也是化為二重積分。
第二型曲面最基本的方法就是通過找投影化為二重積分. 想要提醒一點的是: 如果曲面是 x=c 的一部分, 這時候x'=0, 即 dx=0, 所以曲面積分中包含 dxdy 與 dzdx 的兩項直接為零,。
而關於 p(x,y,z)dzdx 的積分, 也變為了 p(c,y,z)dydz 的積分, 然後結合方向就可以化為二重積分.。同理, 對於 y 或者 z 為常數的情況亦是如此。
二、積分物件不同
第一內類曲線積分是對弧長積分，對弧長的曲線積分的積分元素是弧長元素；第二類曲線積分是對座標（有向弧長在座標軸的投影）積分，對座標軸的曲線積分的積分元素是座標元素。
三。應用場合不同
第一類曲線積分求非密度均勻的線狀物體質量等問題，第二類曲線積分解決做功類等問題。
7樓：萌小萌
最後，上半球面的面積難道不是2πa^2？結果能是πa^3?那也是2πa^3吧 啊，最後積分割槽域改變了吧.....
8樓：匿名使用者
^首先積分曲面關於xoz,yoz平面都是對稱的,而被積函式
(x+y)分別是關於x,y的奇函式,所以∫∫(x+y)=0,原積分專=∫∫zds,而(z'x)^屬2+(z'y)^2+1=x^2/z^2+y^2/z^2+1=a^2/z^2,所以積分=∫∫azdxdy/z=a∫∫dxdy=πa^3
i=∫∫ xz^2dydz+(y*x^2-z^3)dzdx+(2xy+z*y^2)dxdy /x^2+y^2+z^2,積分曲面為上半球面z=√a^2-x^2-y^2外側
9樓：匿名使用者
就一個答案
因為分母x^2+y^2+z^2在曲面σ：x^2+y^2+z^2=a^2上
所以可以直接把含有x^2+y^2+z^2的都換為a^2
這是曲線和曲面積分的特性，就能省去挖孔的步驟
但是，若這裡的分母不是x^2+y^2+z^2的話，比如x^2+2y^2+3z^2
做法就不同了，不能直接代入，而是需要挖一個x^2+2y^2+3z^2=t^2,t->0
的小橢球，來避免奇點，這樣圍成的曲面就能用高斯公式了
再詳細一點的，
許多人都把重積分和線面積分都混淆了
實際上重積分是不能直接這樣代入的
因為重積分的方程是x^2+y^2+z^2≤a^2
但是面積分的方程是x^2+y^2+z^2=a^2
這個不等號和等號是關鍵所在了
重積分方程要用等號表示時，一定要說明由是哪些曲面圍成的封閉體積
例如由z=√(x^2+y^2)和z=√(1-x^2-y^2)圍成的體積，這裡可用等號表示
或者直接說體積範圍是z≥√(x^2+y^2)和z≤√(1-x^2-y^2)
但是，對於曲面積分，就不能用z≥√(x^2+y^2)和z≤√(1-x^2-y^2)來表示了
只能說由z=√(x^2+y^2)和z=√(1-x^2-y^2)圍成的曲面的全外側等等
也有一個要點
當是全外(內)側的曲面積分時，若被積函式有相應的積分方程式子
可以先直接代入，但是用了高斯公式變為三重積分後，就不能這麼做了，要注意哦
急！有一個關於高數空間的問題。求由上半球面z=√（a^2-x^2-y^2),柱面x^2+y^2-ax=0及平面z=0所圍成的立體.
10樓：匿名使用者
^^關鍵是這個的形狀：x^2+y^2-ax=0x^2-ax+y^2=0
x^2 - ax + (a/2)^2 + y^2＝(a/2)^2(x -a/2)^2 + y^2＝(a/2)^2這就是x^2+y^2-ax=0的形狀，圓心位專置不在原點的圓，圓心(a/2, 0) ，半
屬徑a/2 ，總之是柱面
它的半徑小於a。所以在圓心(0, 0) ，半徑a的圓內部，你畫一下，我不會畫圖，sorry
所圍成的立體：
底面為圓（上面我說的那個圓）；
頂為球面的一部分，但偏了一些，像個什麼呢？我到想不起來了；
側面是柱面，中心軸和z軸平行，但頂的高度不一樣的，是立體橢圓。
11樓：匿名使用者
半球面z=√（a^2-x^2-y^2),在xoy面上的投影方程為x^2+y^2<=a^2,z=0，它包含x^2+y^2=ax,z=0。
12樓：中中中南南南南
^z=√（a^2-x^2-y^2)表示的是一個半球，z=0表示的是一個平面，而x^2+y^2=ax表示的是一個柱體。柱體在xoy平面的內投影的圓容心是(a/2,0)，半徑為a/2,而半球在xoy平面的投影是圓心在原點，半徑為a的圓，所以明顯的平面z=0，半球z=√（a^2-x^2-y^2)，柱體x^2+y^2=ax，所形成的立體圖形在xoy平面的投影為x^2+y^2=ax，z=0。畫個圖，很明顯的
13樓：生活好浪漫
^^x^du2+y^2-ax=0
x^zhi2-ax+y^2=0
x^2 - ax + (a/2)^2 + y^2＝(a/2)^2(x -a/2)^2 + y^2＝(a/2)^2這就是x^2+y^2-ax=0的形狀，圓心位置不在原點的圓，dao圓心(a/2, 0) ，半徑a/2 ，總之回是柱面答
它的半徑小於a。所以在圓心(0, 0) ，半徑a的圓內部，你畫一下，我不會畫圖，sorry
所圍成的立體：
底面為圓（上面我說的那個圓）；
頂為球面的一部分，但偏了一些，像個什麼呢？我到想不起來了；
側面是柱面，中心軸和z軸平行，但頂的高度不一樣的，是立體橢圓
用matlab畫出上半球面 x 2 y 2 z 2 1與平面x y z 1 5的交線
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武大 高數曲面積分 設 是球面x 2 y 2 z 2 a 2,則曲面積分 x y z 2ds 原式 x y z 2xy 2yz 2xz ds x y z ds 2xyds 2yz ds 2xzds a ds 0 0 0 a 4 a 4 a 4 注 1 x y z ds a ds 利用曲面積分可將曲面...
這題怎麼做？設是球面x2 y2 z2 a2的外側，Dxy x2 y2 a2，則必有
解 積分域 x y 2ax，即有bai x a y a 這是一個園du心在 a，0 半徑r a的園域。z 4a x y z x x z，z y y z a dxy 1 x z y z dxdy dxy 1 x y 4a x y dxdy dxy 4a 4a x y dxdy dxy 2a 1 4a ...