求由方程e y xy e 0所確定的隱函式的導數dy dx 要詳細過程,說明為什麼要那樣求,不夠詳細不給分

時間 2021-05-07 19:59:06

1樓:員木蘭喬識

由方程e^y+xy-e=0確定的函式是y=f(x),因此在對方程兩邊對於x求導時,要把y看成是x的函式,這樣就可以得到e^y*y'+y+xy'=0

從而得到y'=-y/(e^y+x)

注:y'=dy/dx

2樓:苑斐範略

求導定義:函式y=f(x)的導數的原始定義為

y'=f'(x)=lim(δx→0)|(δy/δx)=lim(δx→0)|δy/lim(δx→0)|δx=dy/dx,

其中δy=f(x+δx)-f(x);

實數c的導數(c)'=0

導數的四則運演算法則:u=u(x),v=v(x);

加減法原則:(u±v)'=u'±v'

證明:(u±v)'=lim(δx→0)|(δ(u±v)/δx)=d(u±v)/dx,

其中δ(u±v)=u(x+δx)±v(x+δx)-u(x)±v(x)

=[u(x+δx)-u(x)]±[v(x+δx)-v(x)]

=δu±δv,

則(u±v)'=lim(δx→0)|(δ(u±v)/δx)

=lim(δx→0)|(δu/δx)±lim(δx→0)|(δv/δx)

=(du/dx)±(dv/dx)

=u'±v'

乘法法則(uv)'=u'v+uv'

證明:則(uv)'=lim(δx→0)|(δ(uv)/δx)=d(uv)/dx,

其中δ(uv)=u(x+δx)v(x+δx)-u(x)v(x)

=[u(x+δx)v(x+δx)-u(x)v(x+δx)]+[u(x)v(x+δx)-u(x)v(x)]

=[u(x+δx)-u(x)]v(x+δx)]+u(x)[v(x+δx)-v(x)]

=δu×v(x+δx)]+u(x)×δv

則(uv)'=lim(δx→0)|[(δu×v(x+δx)]+u(x)×δv)/δx]

=lim(δx→0)|[δu×v(x+δx)/δx]+lim(δx→0)|[u(x)×δv/δx]

=lim(δx→0)|[δu×v(x+δx)/δx]×lim(δx→0)|v(x+δx)+lim(δx→0)|u(x)×lim(δx→0)|[u(x)δv/δx]

=(du/dx)vx+u(x)(dv/dx)

=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

除法法則:(u/v)'=(u'v-uv')/v²

證明:與乘法法則的證法類似,此處略!

複合函式的求導法則:y=f(u)=f(u(x)),u=u(x),則y'=f'(u(x))×u'(x)

簡證:y=f(u)=f(u(x)),u=u(x),

則y'=lim(δx→0)|(δy/δx)

=lim(δx→0)|[(δy/δu)×(δu/δx)]

=lim(δx→0)|(δy/δu)×lim(δx→0)|(δu/δx)

=(dy/du)×(du/dx)

=f'(u(x))×u'(x)

e^y+xy-e=0——原隱函式,其中y=f(x)

兩邊求導得(e^y+xy-e)'=0'

左邊先由求導的加減法原則可知(e^y+xy-e)'=(e^y)'+(xy)'-(e)',

由常數的導數為0可知原隱函式兩邊求導後為:(e^y)'+(xy)'=0

由複合函式的導數可知(e^y)'=e^y×y',其中(e^x)'=e^x;

由求導的乘法法則可知(xy)'=y+xy',

即原隱函式的導數為e^y×y'+y+xy'=0(其中y'=dy/dx)

接下來求函式y的過程就是傳說中的求解微分方程,

這個求解通常都比較難,而且往往是非常難!

3樓:釋奧凌茜

設y=f(x)方程:

e^(f(x))+xf(x)-e=0

在方程的兩邊對x求導數

e^(f(x))

f'(x)+f(x)+xf

'(x)=0

.........①

解出:f

'(x)=

-f(x)/[x+e^(f(x))]即y

'=-y/(x+e^y)...........②這說明:在.①中把f(x),換成

y,就是把y看成x

的函式來

求導;有

e^y*

y'+y+

xy'=0

4樓:諸葛晶瀅雷錦

很簡單啊。

隱函式為f(x,y)=e^y+xy-e

這個隱函式的求導有個公式dy/dx=f(x,y)對x的偏導除以f(x,y)對y的偏導,並加上一個負號。(不會打偏導負號,見諒)即:dy/dx=-fx/fy

dy/dx=--y/(e^y+x)

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