1樓：
由《矩陣理論與應用，張躍輝》書中103頁定理3.3.1可知，(a-1*e)矩陣的零度，即矩陣的階數-rank(a-1*e)，也即為特徵值1的幾何重數，為jordan標準型中特徵值為1的jordan塊的個數。
而jordan塊的階數通過如下確定，計算a-1*i的冪零度，如果冪零度為3，說明對角元素為1的jordan塊中，最大子塊的階數為3，那麼這個方陣a的jordan標準型就是j(1,1)+j(1,3)，如果a-1*i的冪零度為2，說明對角元素為1的jordan塊中，最大子塊的階數為2，那麼這個方陣a的jordan標準型就是j(1,2)+j(1,2).
而最小多項式通過如下計算，由於特徵多項式為4次多項式，最小多項式的最高次應小於等4，因此可以計算a-1*e，(a-1*e)*(a-1*e)，(a-1*e)*（a-1*e）*（a-1*e），(a-1*e)*（a-1*e）*（a-1*e）*(a-1*e)，第一個等於零的式子次數，即為最小多項式測次數，比如a-1*e不等於零，(a-1*e)*(a-1*e)等於零，那麼最小多項式就應該是(x-1)^2，題主問的問題中特徵值都相同，不同的時候處理方法稍微不同。比如特徵多項式為(x-2)^2 *(x-1)^2，那麼就需要計算(a-2*e)*(a-1*e)，(a-2*e)*(a-1*e)*(a-2*e)，(a-2*e)*(a-1*e)*(a-1*e)，(a-2*e)*(a-1*e)*(a-2*e)*(a-1*e)，這裡面等於零的，並且次數最小的多項式即為最小多項式。
最後一個問題，題主意思應該是問，最大jordan塊是m階的話，矩陣a的最小特徵多項式中x-k的次數是m，這個是不成立的，比如
a = [1 1 0 0 ; 0 1 0 0 ; 0 0 1 0; 0 0 0 2]，這是一個jordan標準型，j(a) = j(1,2) 直和符號 j(1,1) 直和符號 j(2,1)，最小多項式是(x-1)^3(x-2)，你可以發現對角元素為1的最大jordan塊的階數是2，但是最小多項式中的(x-1)的次數是3.
ps:直和符號打不出來，你湊和看把.....，題主應該和我一樣近期要考試了把....，加油
2樓：我奇故我在
算一下rank(a-e)^2，如果為0，則是兩個2階的，如果為1，則是一個1階一個3階。也可以用λ-矩陣方法，都是理論上的，實際操作都很麻煩。
回答補充：對的，不然不能將a化0。
3樓：匿名使用者
可以利用jordan標準型求最小多項式。
線性代數 行列式法求 jordan標準型 的問題
4樓：匿名使用者
因為d3(λ)定義為bai所有三階子式的最du
大公因式
第二個zhi問題 比較複雜 具體dao可以看高等代數
專 證明思路如下：屬
1、證明經過初等變換的到的矩陣與原矩陣具有相同的行列式因子（分三種變換可證其任意階子式可以整除 再由初等變換的可逆性可證相等
2、證明拉姆達矩陣初等變換可以化為標準形形式，其中d（i）|d（i+1） 首一（這個首先要證明已下引理）
這個定理也是主要利用初等變換的第三種變換倍數為多項式除法的商得到左上角元素為其餘數來證明 接著再進行變換將第一行第一列其他元素變為0 從而利用分塊後的小矩陣歸納法得來如下圖
再對a1進行變換歸納 因為初等變換是線性組合 所以變換後的仍可以被b（）整除）
3、可以證明上述矩陣k級子式（只有行列座標完全相同子式不為0）的最大公因式為d1*……dk
(因為易知左上角的k 階子式是相對次數最小的，其餘的子式都是他的倍數)
4、再有上述矩陣與原拉姆達矩陣等價，而等價矩陣因具有相同的行列式因子從而dk相同
5、再由可知d（k+1）/d(k)=d(k+1)
5樓：匿名使用者
1、題中d3(λ)是a(λ)的bai3階行du列式因zhi子，根據「行列式因子」的定義，dao即d3(λ)是a(λ)的全回部k階子式的首一最大公因式，所以
答，d3(λ)一定可以整除a(λ)的所有3階子式。
2、參考「不變因子」的定義，d4(λ)=d4(^)/d3(λ），d4(λ)就是a(λ)的不變因子，是一個首一多項式，所以d3(λ)一定可以整除d4(λ)。
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