1樓：匿名使用者
lim[n→+∞] n * [1/(n + 1)² + 1/(n + 2)² + ... + 1/(n + n)²]
= lim[n→+∞] n *
= lim[n→+∞] n * (1/n²)[1/(1 + 1/n)² + 1/(1 + 2/n)² + ... + 1/(1 + n/n)²]
= lim[n→+∞] 1/n * [1/(1 + 1/n)² + 1/(1 + 2/n)² + ... + 1/(1 + n/n)²]
= lim[n→+∞] 1/n * σ(k=1→n) 1/(1 + k/n)²
= lim[n→+∞] (2 - 1)/n * σ(k=1→n) 1/[1 + k(2 - 1)/n]²
= ∫[1→2] 1/x² dx
= - 1/x |[1→2]
= - (1/2 - 1)
= 1/2
這裡的δx = (2 - 1)/n = 1/n
區間是1 + 1/n，1 + 2/n，1 + 3/n，...，1 + k/n，...，1 + n/n
2樓：匿名使用者
= 1/n ( 1/(1+1/n)^2 + 1/(1+2/n)^2 + ... + 1/(1+n/n)^2 )
這個和可以看成定積分∫ 1/(1+x)^2 dx在[0,1]上的近似
所以結果為-1/(1+x) [0,1] = 1/2
3樓：匿名使用者
=lim(n→∞) /n
= ∫ 1/(1+x)^2 dx ( 上限：1, 下限：0 )=－1/(1+x) ( 上限：1, 下限：0 )=1/2
把極限lim(n→∞)[1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(n+n)]表示為定積分
4樓：drar_迪麗熱巴
函式f(x)=1/(1+x).
用分點將區間[0,1]平均分成n份，分點是
x[k]=k/n,k=1,2,...,n.
利用定積分的定義，和式
∑當n->∞時的極限等於定積分
∫而f(x[k])*(1/n)＝1/(n+k)，通項相等，也就是說你的式子等於上面的和式。
於是lim[1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+……1/(n+n),n->∞]
=∫=∫
=ln(1+x)|[0,1]
=ln(1+1)-ln(1+0)
=ln2
「極限」是數學中的分支——微積分的基礎概念，廣義的「極限」是指「無限靠近而永遠不能到達」的意思。數學中的「極限」指：某一個函式中的某一個變數，此變數在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值a不斷地逼近而「永遠不能夠重合。
用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：
對於被考察的未知量，先設法正確地構思一個與它的變化有關的另外一個變數，確認此變數通過無限變化過程的』影響『趨勢性結果就是非常精密的約等於所求的未知量；用極限原理就可以計算得到被考察的未知量的結果。
極限思想是微積分的基本思想，是數學分析中的一系列重要概念，如函式的連續性、導數（為0得到極大值）以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：「數學分析是一門什麼學科?
」那麼可以概括地說：「數學分析就是用極限思想來研究函式的一門學科，並且計算結果誤差小到難於想像，因此可以忽略不計。
5樓：116貝貝愛
結果為：ln2
解題過程如下：
函式f(x)=1/(1+x)
用分點將區間[0,1]平均分成n份，分點是 x[k]=k/n,k=1,2,...,n
利用定積分的定義,和式 ∑
當n->∞時的極限等於定積分 ∫
而f(x[k])*(1/n)＝1/(n+k),通項相等,也就是說你的式子等於上面的和式
lim[1/(n+1) +1/(n+2)+1/(n+3)+……1/(n+n),n->∞]
=∫ =∫
=ln(1+x)|[0,1]
=ln(1+1)-ln(1+0)
=ln2
求函式積分的方法：
設f（x）是函式f（x）的一個原函式，我們把函式f（x）的所有原函式f（x）+c（c為任意常數）叫做函式f（x）的不定積分，記作，即∫f（x）dx=f（x）+c。
其中∫叫做積分號，f（x）叫做被積函式，x叫做積分變數，f（x）dx叫做被積式，c叫做積分常數，求已知函式不定積分的過程叫做對這個函式進行積分。
積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對於一個給定的實函式f（x），在區間[a，b]上的定積分記為：
若f（x）在[a,b]上恆為正，可以將定積分理解為在oxy座標平面上，由曲線（x，f（x））、直線x=a、x=b以及x軸圍成的面積值（一種確定的實數值）。
積分公式主要有如下幾類：
含ax+b的積分、含√（a+bx）的積分、含有x^2±α^2的積分、含有ax^2+b（a>0）的積分、含有√（a2+x^2） （a>0）的積分、含有√（a^2-x^2） （a>0）的積分。
含有√（|a|x^2+bx+c） （a≠0）的積分、含有三角函式的積分、含有反三角函式的積分、含有指數函式的積分、含有對數函式的積分、含有雙曲函式的積分。
6樓：
看表示式分母為n+i形式，要表示為定積分，一般要提出因式1/n，所以可以化成
lim(n→∞)[1/(1+1/n)+1/(1+2/n)+……+1/(1+1)]/n
=∫[0,1] [1/(1+x)]dx
=ln2
7樓：
∫(n,∞) -1/(n+1)^2 dn
把極限lim(n→∞)[1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(n+n)]表示為定積分
8樓：汲桂花悉乙
函式f(x)=1/(1+x).
用分點將區間[0,1]平均分成n份，分點是x[k]=k/n,k=1,2,...,n.
利用定積分的定義，和式
∑當n->∞時的極限等於定積分
∫而f(x[k])*(1/n)＝1/(n+k)，通項相等，也就是說你的式子等於上面的和式。
於是lim[1/(n+1)
+1/(n+2)+1/(n+3)+……1/(n+n),n->∞]=∫=∫
=ln(1+x)|[0,1]
=ln(1+1)-ln(1+0)
=ln2
利用定積分定義求極限lim(n趨近無窮){n/(n^2+1)+n/(n^2+2^2)+...+n/(n^2+n^2)}
9樓：匿名使用者
^^通項ak=n/(n^2+k^2)=1/n*1/[1+(k/n)^2]
根據定積分定義：
lim(n趨近無窮)
=積分（x從
回0到答1）1/(1+x^2)dx
=arctanx（x從0到1）
=pi/4.
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