1樓：風翼殘念
看各分段函式的函式式是不是連續（這就是一般的初等函式是否連續的做法） 然後看分段函式的分段點，左右極限是否相等並等於函式值。 分段點處的左極限用左邊的函式式做， 分段點處的右極限用右邊的函式式做。
通需判斷段點左邊及右邊函式值否相等且等於該點函式值即：
比如：x>=0，f(x)=x^2 1。
x<0，f(x)=sinx。
x=0 ，(即0點右邊)，f(0 )=0 1=1。
x=0-，(即0點左邊)，f(0-)=sin0=0。
兩者等所x=0處連續。
也可以用導數極限進行判斷。導數極限定理: 設函式f(x)在點a的某鄰域u(a)內連續，在u(a)的空心鄰域內可導，且當x--->a時,導函式的極限存在，那麼：
f(x)在點a處可導，且等於[x-->a時，f(x)的導函式的極限]。
擴充套件資料：
連續函式的性質定理：
閉區間上的連續函式具有一些重要的性質，是數學分析的基礎，也是實數理論在函式中的直接體現。下面的性質都基於f(x)是[a,b]上的連續函式得出的結論。
1、有界性
閉區間上的連續函式在該區間上一定有界。
所謂有界是指，存在一個正數m，使得對於任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤m。
)在[a,b]上有界 [1] 。
2、最值性
閉區間上的連續函式在該區間上一定能取得最大值和最小值。
所謂最大值是指，[a,b]上存在一個點x0，使得對任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同樣作定義，只需把上面的不等號反向即可。
證明：利用確界原理：非空有上（下）界的點集必有上（下）確界。
由於已經證明了f(x)在[a,b]上有界，因此由確界原理可知，f(x)的值域f([a,b])必有上確界和下確界。
3、介值性
若f(a)=a，f(b)=b，且a≠b。則對a、b之間的任意實數c，在開區間(a,b)上至少有一點c，使f(c)=c。
這個性質又被稱作介值定理，其包含了兩種特殊情況：
（1）零點定理。
也就是當f(x)在兩端點處的函式值a、b異號時（此時有0在a和b之間），在開區間(a,b)上必存在至少一點ξ，使f(ξ)=0。
（2）閉區間上的連續函式在該區間上必定取得最大值和最小值之間的一切數值。
也就是設f(x)在[a,b]上的最大值、最小值分別為m、m（m≠m），並且f(x1)=m，f(x2)=m，x1、x2∈[a,b]。在閉區間[x1,x2]或[x2,x1]上使用介值定理即可。
介值定理可以構造輔助函式來證明。
令g(x)=f(x)-c，其中c是a和b之間的任一實數，則g(x)在[a,b]上連續。
不妨設a0，即g(x)在兩端點處的函式值異號。根據零點定理，在開區間(a,b)上至少存在一點c，使g(c)=f(c)-c=0。∴f(c)=c，c∈(a,b)。
對於b4、一致連續性
閉區間上的連續函式在該區間上一致連續。
所謂一致連續是指，對任意ε>0（無論其多麼小），總存在正數δ，當區間i上任意兩個數x1、x2滿足|x1-x2|<δ時，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就稱f(x)在i上是一致連續的。
證明：利用有限覆蓋定理：如果h是閉區間[a,b]的一個無限開覆蓋，那麼能從h中選擇有限個開區間來覆蓋[a,b]。
2樓：吳學姐
高中數學——函式的連續性，分段函式一重要考慮點
3樓：庠序教孝悌義
只要你能夠證明這個分段函式在各個分段點之間左右極限相等那麼就可以證明這個分段函式是連續函式
4樓：匿名使用者
樓上括號裡初等函式在其定義域內都連續啊，有什麼做法？
如何證明函式是連續的
5樓：小小芝麻大大夢
1、證明一個分段函式是連續函式。
首先看各分段函式的函式式是不是連續（這就是一般的初等函式是否連續的做法）然後看分段函式的分段點，左右極限是否相等並等於函式值。
分段點處的左極限用左邊的函式式做，分段點處的右極限用右邊的函式式做。
2、多元函式在某點處的連續性證明
如果一個多元函式是連續的,那麼一般的做法是這樣：通過夾逼法,h(x)這種題目往往是探求在(0,0)這一點的連續性,而又往往左邊h(x)是0,右邊g(x)也是趨於零的.而g(x)趨於零通常又是運用基本不等式對它進行放縮最後求得極限。
擴充套件資料
所有多項式函式都是連續的。各類初等函式，如指數函式、對數函式、平方根函式與三角函式在它們的定義域上也是連續的函式。
絕對值函式也是連續的。
定義在非零實數上的倒數函式f= 1/x是連續的。但是如果函式的定義域擴張到全體實數，那麼無論函式在零點取任何值，擴張後的函式都不是連續的。
非連續函式的一個例子是分段定義的函式。例如定義f為：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。
取ε = 1/2，不存在x=0的δ-鄰域使所有f(x)的值在f(0)的ε鄰域內。直覺上我們可以將這種不連續點看做函式值的突然跳躍。
另一個不連續函式的例子為符號函式。
6樓：愛笑的九癢真精
函式的連續性定義1 函式f 在點x 0的某鄰域內有定義，若函式f 在點x 0有極限且此極限等於該點的函式值，即lim f (x ) =f (x 0) ，則稱f 在點x 0連續 x →x 0 f 在點x 0連續必須滿足三個條件：（1）在點x 0的一個鄰域內有定義（2）lim f (x ) 存在 x →x 0 （3）上述極限值等於函式值f (x 0) 若上述條件有一個不滿足，則點x 0就是函式f 的間斷點。 1、如何證明一個分段函式是連續函式首先看各分段函式的函式式是不是連續（這就是一般的初等函式是否連續的做法）然後看分段函式的分段點，左右極限是否相等並等於函式值。
分段點處的左極限用左邊的函式式做，分段點處的右極限用右邊的函式式做。 2、多元函式在某點處的連續性如何證明沒有專門的一個公式或定理,但是我可以總結幾個方法給你看看. 如果一個多元函式是連續的,那麼一般的做法是這樣：
通過夾逼法,h(x)
怎麼證明分段函式在某一點處連續
7樓：善言而不辯
求出分段函式在該點的左右極限和函式值
當左極限=右極限=函式值時，分段函式在該點處連續，否則不連續。
8樓：a冬雪
用分段函式去求該點左右函式的導數是否存在，並且是否相等
怎麼證明分段函式在定義域內是連續的？
9樓：o客
一般地，分段函式是由幾個初等函式構成的，而初等函式在定義域的區間內是連續的。
所以證明分段函式的連續性，先說明這幾段函式各自在定義域的區間上連續，再證明在分段點的連續性。後者是重點，也難點，必須用單側極限理論嚴格證明。
親，以簡馭繁。舉個簡單的例子。
證明：分段函式f(x)的連續性。f(x)={x,x≥0；-x,x<0.
證明：顯然y=x在（0，+∞）上是連續的，y=-x在（-∞，0）上是連續的.
下面證明f(x)在x=0處連續。
f(0+）=0，f（0-）=0,
而f(0)=0,得f(0+)=f(0-)=f(0),
所以f(x)在x=0處連續.
於是f(x)在定義域r上連續。
如何證明一個分段函式是連續函式？
10樓：匿名使用者
首先看各分段函式的函式式是不是
連續（這就是一般的初等函式是否連續的版做法），然後看分段函權數的分段點，左右極限是否相等並等於函式值，如果相等就是連續函式。分段點處的左極限用左邊的函式式做，分段點處的右極限用右邊的函式式做。
函式y=f（x）當自變數x的變化很小時，所引起的因變數y的變化也很小。例如，氣溫隨時間變化，只要時間變化很小，氣溫的變化也是很小的；又如，自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的。對於這種現象，我們說因變數關於自變數是連續變化的，連續函式在直角座標系中的影象是一條沒有斷裂的連續曲線。
如果自變數在某一點處的增量趨於0時，對應函式值的增量也趨於0，就把f(x)稱作是在該點處連續的。在函式極限的定義中曾經強調過，當x→x0時f(x)有沒有極限，與f(x)在點x0處是否有定義並無關係。但由於現在函式在x0處連續，則表示f(x0)必定存在，顯然當δx=0（即x=x0）時δy=0<ε。
於是上述推導過程中可以取消0<|δx|這個條件。
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