1樓：
題目錯了吧。根據積分中值定理，式子左邊等於c^n*f(c)，c屬於（0,1），f是閉區間上連續，所以有界，c^n*f(c)極限就是0，不是f（1）
2樓：匿名使用者
題目沒有問題
∫xⁿ*f(x)dx=∫xⁿ*f(x)dx+∫xⁿ*f(x)dx
由於f(x)在[0,1]上連續，xⁿ在[0,1]上不變號，且在[0,1]上可積
對f(x)在[0,1-1/√n]上運用積分第一中值定理，存在一點ξ₁∈[0,1-1/√n]，使得
∫xⁿ*f(x)dx=f(ξ₁)*∫xⁿdx
=f(ξ₁)*[x^(n+1)/(n+1)]|
=f(ξ₁)*(1-1/√n)^(n+1)/(n+1)
對f(x)在[1-1/√n,1]上運用積分第一中值定理，存在一點ξ₂∈[1-1/√n,1]，使得
∫xⁿ*f(x)dx=f(ξ₂)*∫xⁿdx
=f(ξ₂)*[1/(n+1)-(1-1/√n)^(n+1)/(n+1)]
=f(ξ₂)/(n+1)[1-(1-1/√n)^(n+1)]
故limn*∫xⁿ*f(x)dx
=limn*f(ξ₁)*(1-1/√n)^(n+1)/(n+1)+limn* f(ξ₂)/(n+1)[1-(1-1/√n)^(n+1)]
由於lim(1-1/√n)^(n+1)
=lim(1-1/√n)^n
=lim(1-x)^(1/x²)
=lime^[1/x²*ln(1-x)]
=e^[1/x²*(-x)]} a→0，ln(1+a)~a
=0故limn*f(ξ₁)*(1-1/√n)^(n+1)/(n+1)
=limf(ξ₁)*lim[n/(n+1)]*lim(1-1/√n)^(n+1)
=limf(ξ₁)*1*0
=0注：∵f(x)在[0,1]上連續，∴f(x)有界，∴limf(ξ₁)為有限值
∵當n→∞時，1-1/√n→1，∴ξ₂→1
故lim n* f(ξ₂)/(n+1)[1-(1-1/√n)^(n+1)]
=limf(ξ₂)*lim[n/(n+1)]*lim[1-(1-1/√n)^(n+1)]
=limf(ξ₂)*1*(1-0)
=f(1) 由連續性
因此，limn*∫xⁿ*f(x)dx=f(1)，證畢
本題若直接根據積分中值定理，得到存在一點ξ∈(0,1)，使得
∫xⁿ*f(x)dx=ξⁿ*f(ξ)，這裡0<ξ<1
容易得出limn*∫xⁿ*f(x)dx=limn*ξⁿ*f(ξ)=0的錯誤結果
原因在於當n→∞時，ξⁿ不是1/n的高階無窮小，而是等價無窮小，此時ξ→1
為說明方便，不妨取f(x)=1
則∫xⁿ*f(x)dx=∫xⁿdx=1/(n+1)=ξⁿ
顯然，limξⁿ/(1/n)=limn/(n+1)=1
且ξ=[1/(n+1)]^(1/n)
limξ=lim[1/(n+1)]^(1/n)=1
函式f(x)在【0,1】上連續可微，證明：lim n->無窮 n積分符號（0——1） x^n f(x)dx=f(1)
3樓：匿名使用者
對∫(0到1) x^nf(x)dx用分部積分法，∫(0到1) x^nf(x)dx＝1/(n+1)×∫(0到1) f(x)dx^(n+1)＝f(1)/(n+1)-1/(n+1)×∫(0到1) x^(n+1) f'(x)dx，對∫(0到1) x^(n+1) f'(x)dx用積分第一中值定理，存在b∈(0,1)，使得∫(0到1) x^(n+1) f'(x)dx＝f'(b)×∫(0到1) x^(n+1) dx＝f'(b)/(n+2)。
所以∫(0到1) x^nf(x)dx＝f(1)/(n+1)-1/(n+1)×f'(b)/(n+2)，所以lim n ∫(0到1) x^nf(x)dx＝lim [f(1)/(n+1)-1/(n+1)×f'(b)/(n+2)]＝f(1)
4樓：
n積分符號，什麼意思？
關於求極限lim∫(0→1)x^n/1+xdx=0
5樓：
實際上是可以採用中值定理的，只不過推導過程麻煩一點：
用中值定理得出的解應該為：
lim∫(0→1)[(x^n)/(1+x)]dx=lim(1-0)*[(ξn^n)/(1+ξn)]
因為ξn具體取什麼值是由n決定的，所以分數上下的ξ值都應該寫作ξn，如果要證明
lim(1-0)*[(ξn^n)/(1+ξn)]=0，則需要證明在取n趨向於無窮大的任意一個n時，這個以n為變數的ξn都不包括1(因為ξn的區間是[0,1])。
求極限基本方法有：
1.直接代入法
對於初等函式f（x）的極限f（x），若f（x）在x點處的函式值f（x）存在，則f（x）=f（x）。直接代入法的本質就是隻要將x=x代入函式表示式，若有意義，其極限就是該函式值。
2.無窮大與無窮小的轉換法
在相同的變化過程中，若變數不取零值，則變數為無窮大量?圳它的倒數為無窮小量。對於某些特殊極限可運用無窮大與無窮小的互為倒數關係解決。
（1）當分母的極限是「0」，而分子的極限不是「0」時，不能直接用極限的商的運演算法則，而應利用無窮大與無窮小的互為倒數的關係，先求其的極限，從而得出f（x）的極限。
（2）當分母的極限為∞，分子是常量時，則f（x）極限為0。
3.除以適當無窮**
對於極限是「」型，不能直接用極限的商的運演算法則，必須先將分母和分子同時除以一個適當的無窮大量x。
6樓：迷路明燈
不是不能用，而是如解析所說，很麻煩。
7樓：
評註裡寫的有點紕漏，實際上是可以採用中值定理的，只不過推導過程麻煩一點：
用中值定理得出的解應該為：
lim∫(0→1)[(x^n)/(1+x)]dx=lim(1-0)*[(ξn^n)/(1+ξn)]
因為ξn具體取什麼值是由n決定的，所以分數上下的ξ值都應該寫作ξn，如果要證明
lim(1-0)*[(ξn^n)/(1+ξn)]=0，則需要證明在取n趨向於無窮大的任意一個n時，這個以n為變數的ξn都不包括1(因為ξn的區間是[0,1])。
要證明這個也不難：
只要證明(x^n)/(1+x)在n大於任意一個數時,x∈[0,1],為單調遞增或遞減函式就可以了，因為如果函式單增或單減，則ξn必在(0,1)之間，不可能取到1。
(x^n)/(1+x) 求導得：
((x^n)/(1+x))'=(n*x^(n-1)*(1+x)-x^n)/(1+x)^2=(n*x^(n-1)+(n-1)*x^n)/(1+x)^2，用肉眼可以看出n>1,x∈[0,1]，時導數都是大於0的，因此ξn取不到1。
利用定積分求極限:lim(n趨向於正無窮)(1/n^4)(1+2^3+...+n^3)
8樓：demon陌
原式=lim(n→∞)1/n*[(1/n)^3+(2/n)^3+...+(n/n)^3]
=∫(0→1)x^3dx （區間[0,1]的分點為i/n）=x^4/4|(0→1)
=1/4
存在某個正數ε，無論正整數n為多少，都存在某個n>n，使得|xn-a|≥ε，就說數列不收斂於a。如果不收斂於任何常數。
9樓：匿名使用者
原式=lim(n→∞)1/n*[(1/n)^3+(2/n)^3+...+(n/n)^3]
=∫(0→1)x^3dx （區間[0,1]的分點為i/n）=x^4/4|(0→1)
=1/4
10樓：清歡
原式=lim(n→∞)1/n*[(1/n)^3+(2/n)^3+...+(n/n)^3]
=lim（m→∞）1/n*∫(0→1)x^3dx=0*x^4/4|(0→1)=0
證明，若當x趨向於正無窮時，函式f(x)存在極限，則極限唯一
11樓：中職語文教學教研分享
證明：lim(x→+∞)f(x)的極限是唯一的 用反證法證如下假設函式f(x)當x趨於正無窮時函式極限不回唯一不妨假設lim(x→+∞)f(x)=a 且答 lim(x→+∞)f(x)=b 並且a≠b。
由lim(x→+∞)f(x)=a
對於任意ε＞0，存在n1＞0，滿足當x＞n1時|f(x)-a|＜ε/2。
由lim(x→+∞)f(x)=b
對任意ε＞0，存在n2＞0，滿足當x＞n2時|f(x)-b|＜ε/2。
∴肯定能找到n=max當x＞n時
|f(x)-a|+|f(x)-b|＜ε/2+ε/2=ε又∵|f(x)-a|+|f(x)-b|=|a-f(x)|+|f(x)-b|≥|a-f(x)+f(x)-b|=|a-b|
∴|a-b|≤|f(x)-a|+|f(x)-b|＜ε根據極限定義可知a=b。
與題目中a≠b矛盾。
因此原結論成立
即若當x趨近於+無窮,函式f(x)存在極限,則極限唯一。
12樓：吖
x→∞是，函式極限為抄
bai+∞的定義：設函式f（x）在|x|＞
dum處有定義，如果對於任意zhi給定的正數daoz，總存在正數ε（ε≥m），使得不等式|x|＞ε成立的x對於的f（x）都能使得f（x）＞z成立，則稱lim（x→∞）f（x）=+∞ 現在證明： f（x）在（-∞，+∞）上連續，所以f（x）在（-∞，+∞）上都有定義。所以f（0）也有定義，因為正數z是任意選的，所以現在選一正數z＞f（0），根據定義，總能找到一個正數ε，使得當|x|＞ε成立時，即-ε＜x＜ε時，f（x）＞z都成立。
而f（x）在閉區間[-ε，ε]上連續，所以必然在閉區間[-ε，ε]有最小值m，且m≤f（0）而在區間（-∞，-ε）和（-ε，+∞）中，f（x）＞z＞f（0）≥m 所以m就是f（x）在（-∞，+∞）上的最小值。
limn趨向於正無窮x的2n次方+1分之x的2n-1次方+ax次方+bx是連續函式，求a.b的值
13樓：
當0<|x|<1 時，f(x)=a*x^2+bxx=1 時，f(x)=(a+b+1)/2
x=-1 時，f(x)=(-1+a-b)/2|x|>1 時，f(x)=1/x
由在x=1和x=-1 處連續可知， 左極限=右極限=函式值即 a+b=(a+b+1)/2=1 ,a+b=1和 a-b=-1
解得 a=0,b=1
14樓：匿名使用者
能不能寫下來拍照上傳
如何證明分段函式是連續函式，如何證明一個分段函式是連續函式
風翼殘念 看各分段函式的函式式是不是連續 這就是一般的初等函式是否連續的做法 然後看分段函式的分段點，左右極限是否相等並等於函式值。分段點處的左極限用左邊的函式式做，分段點處的右極限用右邊的函式式做。通需判斷段點左邊及右邊函式值否相等且等於該點函式值即 比如 x 0，f x x 2 1。x 0，f ...
設f x 是以l為週期的連續函式,證明a到a lf x dx的值與a無關
f x 是以l為週期的連續函式 那麼它的一個原函式f x 也是週期為l的連續函式這樣f a l f a 所以 a到a lf x dx的值與a無關 這是定積分的一個基本證明題 證明 a,a l f x dx a,0 f x dx 0,l f x dx i,a l f x dx 對第3個積分，設t x ...
生活中連續函式的列子
在人的生長過程中，身高隨時間的變化。汽車行駛的路程和時間的關係。 nt神評 函式的連續性 連續顧名思義就是接連不斷，日常生活中有許多連續變化的現象，例如鐘錶上秒針的轉動，氣溫的變化等等.具有接連不斷這種性質的現象在數學上如何刻畫呢？為了理解連續性，觀察下面函式的圖形，並進一步考察它們在處的性質.其圖...