高中數學的三角形問題

1樓：匿名使用者

重心：三條中線的交點，三角形三個頂點座標相加除以三垂心：三條高的交點，用勾股定理求外心：外接圓的圓心，用三角函式求內心…內接圓圓心，勾股定理

2樓：匿名使用者

重心是三條中線的焦點，垂心是三條垂線的焦點，外心到三個頂點的距離相等，內心到三邊的距離相等。基本原理在了，望樓主可以自己思考，數學學的是一種思維模式，如果你不自己去想，永遠都無法理解！望樓主加油！

（咔＠咔）

3樓：匿名使用者

外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即外接圓的圓心。

外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交於一點。該點叫做三角形的外心。

注意到外心到三角形的三個頂點距離相等，結合垂直平分線定義，外心定理其實極好證。

計算外心的重心座標是一件麻煩的事。先計算下列臨時變數：

d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心座標：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

內心是三角形三條內角平分線的交點，即內切圓的圓心。

內心是三角形角平分線交點的原理：經圓外一點作圓的兩條切線，這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角（原理：角平分線上點到角兩邊距離相等）。

內心定理：三角形的三內角平分線交於一點。該點叫做三角形的內心。

注意到內心到三邊距離相等（為內切圓半徑），內心定理其實極易證。

若三邊分別為l1，l2，l3，周長為p，則內心的重心座標(l1/p,l2/p,l3/p)。

直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。

雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內心在實軸的射影為對應支的頂點。

重心是三角形三邊中線的交點，三線交一可用燕尾定理證明，十分簡單。證明過程又是塞瓦定理的特例。

重心的幾條性質：

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均，即其座標為((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)；空間直角座標系——橫座標：(x1+x2+x3)/3 縱座標：(y1+y2+y3)/3 豎座標：

（z1+z2+z3）/3

三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。

銳角三角形垂心在三角形內部。

直角三角形垂心在三角形直角頂點。

鈍角三角形垂心在三角形外部。

垂心是高線的交點

垂心是從三角形的各頂點向其對邊所作的三條垂線的交點。

三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。

三角形上作三高，三高必於垂心交。

高線分割三角形，出現直角三對整，

直角三角有十二，構成六對相似形，

四點共圓圖中有，細心分析可找清，

證明如第二張圖，雖然「角」的符號成了亂碼，但大家應該能看懂。cf為要證的高；兩個角（doc與bad）相等後利用相似證，此部分從略。直角三角形的情況，直角頂點顯然是垂心；鈍角——大家沒發現三角形obc垂心就是a嗎？

垂心的重心座標反而比外心簡單一點。先計算下列臨時變數（與外心一樣）：

d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘（句子很長^_^）。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心座標：( c1/c，c2/c，c3/c )。