1樓：愛衣
應該還有個條件|x|<1吧
1/(1-x)
=1+x+x²+x³+...
1/(1-x²)
=1+x²+x^4+...
1/(1-x³)
=1+x³+x^6+...
原式=（1+x+x²+x³+...）*（1+x²+x^4+...）*（1+x³+x^6+...）
觀察三個因式的冪次規律
0,1,2,3,4,5,6...n
0,2,4,6,8,10,12...2n
0,3,6,9,12,15,18...3n
為便於考慮，分n為奇數偶數考慮
n=2m的時候，由前兩個因式相乘
得到x^2m項的係數是m+1（數學歸納法得到）
同理得到x^(2m+1)項的係數也是m+1
即這兩個因式相乘後係數按升冪排序是
1，1，2，2，3，3，4，4，5，5
而再乘第三個因式的話
相當於這些係數依次向後挪三個位置（即乘以x³）
係數按升序排列表
1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,...(前兩個因式乘積)
0,0,0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,...(前兩個因式乘積*x³)
0,0,0,0,0,0,1,1,2,2,3,3,...(前兩個因式乘積*x^6)
由此可見，x^n的冪次n還應該按3個一組分類
n=3*2m時，係數是(1+2)+(4+5)+(7+8)+...+(3m-2+3m-1)+3m+1；[m=0,1,2,3...]
n=3*2m+1時，係數是(1+3)+(4+6)+(7+9)+...+(3m-2+3m)+3m+1；[m=0,1,2,3...]
n=3*2m+2時，係數是(2+3)+(5+6)+(8+9)+...+(3m-1+3m)+3m+2；[m=0,1,2,3...]
n=3*(2m+1)時，係數是(1+2)+(4+5)+(7+8)+...+(3m+1+3m+2)；[m=0,1,2,3...]
n=3*(2m+1)+1時，係數是(1+3)+(4+6)+(7+9)+...+(3m+1+3m+3)；[m=0,1,2,3...]
n=3*(2m+1)+2時，係數是(2+3)+(5+6)+(8+9)+...+(3m+2+3m+3)；[m=0,1,2,3...]
整理得n=6m，(3+6m-3)*m/2 + 3m+1 = 3m²+3m+1 = (6m+3)²/12 + 1/4
n=6m+1，(4+6m-2)*m/2 + 3m+1 = 3m²+4m+1 = (6m+4)²/12 - 1/3
n=6m+2，(5+6m-1)*m/2 + 3m+2 = 3m²+5m+2 = (6m+5)²/12 - 1/12
n=6m+3，(3+6m+3)*(m+1)/2 = 3m²+6m+3 = (6m+6)²/12
n=6m+4，(4+6m+4)*(m+1)/2 = 3m²+7m+4 = (6m+7)²/12 - 1/12
n=6m+5，(5+6m+5)*(m+1)/2 = 3m²+8m+5 = (6m+8)²/12 - 1/3
觀察變形之後的式子，括號內的部分恰好是n+3
而括號外的部分以6為週期迴圈，相當於數列1/4 ,-1/3 ,-1/12 ,0 ,-1/12 ,-1/3 ,1/4 ...
則係數表示式裡還含有三角函式才能構成週期性
而只含一個週期為6的三角函式的話，上面的數列不符合三角函式變化規律，必須用兩個不同週期的三角函式線性組合，可以用週期為2的三角函式和週期為3的三角函式線性組合
設上述數列通項公式為acosnπ + bcos2nπ/3 + c
n=0, a + b + c = 1/4
n=1, -a - b/2 + c = -1/3
n=2, a - b/2 + c = -1/12
n=3, -a + b + c = 0
n=4, a - b/2 + c = -1/12
n=5, -a - b/2 + c = -1/3
解得a=1/8 ,b=2/9 ,c=-7/72
即上述數列通項公式為(cosnπ)/8 + 2(cos2nπ/3)/9 - 7/72
再加上前面的(n+3)²/12
就得到係數表示式=(n+3)²/12 + (cosnπ)/8 + 2(cos2nπ/3)/9 - 7/72
即(n+3)²/12 + (-1)^n/8 + 2(cos2nπ/3)/9 - 7/72
2樓：天使w帥氣
x|<1吧
1/(1-x)
=1+x+x²+x³+...
1/(1-x²)
=1+x²+x^4+...
1/(1-x³)
=1+x³+x^6+...
原式=（1+x+x²+x³+...）*（1+x²+x^4+...）*（1+x³+x^6+...）
觀察三個因式的冪次規律
0,1,2,3,4,5,6...n
0,2,4,6,8,10,12...2n
0,3,6,9,12,15,18...3n
為便於考慮，分n為奇數偶數考慮
n=2m的時候，由前兩個因式相乘
得到x^2m項的係數是m+1（數學歸納法得到）
同理得到x^(2m+1)項的係數也是m+1
即這兩個因式相乘後係數按升冪排序是
1，1，2，2，3，3，4，4，5，5
而再乘第三個因式的話
相當於這些係數依次向後挪三個位置（即乘以x³）
係數按升序排列表
1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,...(前兩個因式乘積)
由此可見，x^n的冪次n還應該按3個一組分類
n=3*2m時，係數是(2+3)+(5+6)+(8+9)+...+(3m-1+3m)；[m=1,2,3...]
n=3*2m+1時，係數是(1+2)+(4+5)+(7+8)+...+(3m-2+3m-1)+3m+1；[m=1,2,3...]
n=3*2m+2時，係數是(1+3)+(4+6)+(7+9)+...+(3m-2+3m)+3m+1；[m=1,2,3...]
n=3*(2m+1)時，係數是(2+3)+(5+6)+(8+9)+...+(3m-1+3m)+3m+2；[m=1,2,3...]
n=3*(2m+1)+1時，係數是(1+2)+(4+5)+(7+8)+...+(3m+1+3m+2)；[m=0,1,2,3...]
n=3*(2m+1)+2時，係數是(1+3)+(4+6)+(7+9)+...+(3m+1+3m+3)；[m=0,1,2,3...]
n=6m，(5+6m-1)*m/2 = 3m²+2m
n=6m+1，(3+6m-3)*m/2 + 3m+1 = 3m²+3m+1
n=6m+2，(4+6m-2)*m/2 + 3m+1 = 3m²+4m+1
n=6m+3，(5+6m-1)*m/2 + 3m+2 = 3m²+5m+2
n=6m+4，(3+6m+3)*(m+1)/2 = 3m²+6m+3
n=6m+5，(4+6m+4)*(m+1)/2 = 3m²+7m+4
1/(1-x) ＝1+x^2+x^3+...＋x^n＋…怎麼來的？
3樓：西域牛仔王
等比數列求和公式：
1＋x＋x²＋......＋xⁿ
＝(1 - xⁿ) / (1 - x)
＝1/(1-x) - xⁿ/(1-x)，
當 |x|＜1，n→∞ 時，得
1＋x＋x²＋........＝1/(1-x)。
4樓：匿名使用者
這是一個等比數列的前n項和，並且q=x 其中0 f y1 y2 y1 y2 y1 y2 y3 y1 y2 y4 y1 y2 y4 y1 2 y2 2 y1y3 2y1y4 y2y3 y1 1 2 y3 y4 2 y2 2 1 4 y3 2 y2y3 y3y4 y4 2 y1 1 2 y3 y4 2 y2 1 2 y3 2 y3y4 y4 2 y1... 數學新綠洲 方程 x 3 x 3 x 3 x 1 x 2 x 1 x 4 去括號得 x 6x 9 x 9 x 3x 2 x 3x 4 即 6x 18 6 6x 12 解得 x 2 方程0.3分之2x 2又3分之2 0.2分之 1.4 3x 可化為 0.3分之2x 3分之8 0.2分之 1.4 3x ... x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x 5 x 3 x 4 x的平方 7x 13 x的平方 8x 15 x 8x 15 x 7x 13 x 6x 8 x 6x 9 x 7x 12 x 6x 8 x 6x 5 x 7x 10 x 8x 15 x 7x 13 1 x 3 x 4 3 x 2 x 5 ...把二次型x1x2 x1x3 x1x4 x2x4化成標準型
方程（x 3X 3） X 3X 1 X 2X 1 X 4 的解為
x 2x 3x 1x 2x 4x 5x 3x 4x的平方 7x 13x的平方 8x