1樓：
條件沒有問題. 非齊次方程的解與對應的齊次方程的基礎解系是線性無關的，也就是說非齊次方程ax＝b的解向量組成的向量組的秩＝n－秩(a)＋1，n是未知數個數.記得同濟版線性代數課後有相關的習題.
對於本題來說，秩(a)＝1時，ax＝b就可以找到四個線性無關的解.
例如，a＝
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
向量b＝(1,0,0,0)t，t代表轉置.
秩(a)＝1，ax＝b有四個線性無關的解：
(1,0,0,0)t
(1,1,0,0)t
(1,0,1,0)t
(1,0,0,1)t
2樓：
簡單描述 學過線代應該能看懂
4個未知數 r=3
解=齊通+非齊特
齊只有3個解向量 即a1-a2,a2-a3,a3-a4是其中一個最大的無關組
題沒錯 但必須知道最多也只能找到4個無關解
若有5個 則a1-a2,a2-a3,a3-a4是其中一個最大的無關組 必能表示出a4-a5
即可用a1-a2,a2-a3,a3-a4與a4表示出a5 (故找不到第5個)
結論:非齊次線性無關的解的個數=r+1 你這題應該只能r=3了 (3+1=4)
3樓：斷翼之心
由於a是3*4非零矩陣,所以,如果非齊次線性方程組ax=b,那必定有無窮多組解,其中必然能找到4個線性無關解,比如令a為1 1 1 1 b為1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
則ax=b對應的齊次方程ax=0的通解為k -1 +l -1+m -1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
而ax=b有特解100
0所以ax=b通解1 -1 -1 -10 1 0 0
0+k 0+l 1+m 0
0 0 0 1
分別令k 1 0 0 0
l 為0 1 0 0
m 0 0 1 0
可得α1，α2，α3，α4為0 0 0 11 0 0 0
0 1 0 0 (α1，α2，α3，α4線性無關)0 0 1 0
4樓：匿名使用者
你是錯了。ax＝b……①
對應的齊次組為ax＝0……②
②的基礎解系如果為α1.α2，α3.①的一個特解設為β.
則①的通解為x＝c1α1+c2α2+c3α3+β.（c1,c2,c3為任意常數）。
現在取（c1,c2,c3）為（000），（100），（010），（001）可得②的四個解：β，α1+β，α2+β，α3+β。
請songsong_id 自己證明，這四個解是線性無關的（按定義直接證明）。有時也把①的任意（r+1）個（這裡是四個）無關解叫①的基礎解系。它的意思是：
①的全部解都可以表示為這四個解的線性組合（可以驗證:組合係數的和為1）。反過來，這四個解的任意線性組合，只要組合係數的和為1，都是①的解。
（請songsong_id 自驗以上結果）。
順便說一句，這一說法通常只在數學系的線性代數課程中提到，其他專業不太熟悉是很自然的。
非齊次線性方程組線性無關的解的個數和其對應的齊次線性方程組基礎解系的向量個數的關係是什麼?
5樓：匿名使用者
那個結論bai正確., 但你的推導有問du題.
ax=b 有3個線
zhi性無關的解daoa1,a2,a3,
則 a1-a3,a2-a3 是 ax=0 的線性無關的解所以回 n-r(a)=4-r(a) >=2所以 r(a)<=2.
只能得到這答個結論.
r(a)>=2 需要從已知條件中挖掘, 原題是什麼?
非齊次線性方程組線性無關的解的個數和其對應的齊次線性方程組基礎解系向量的個數的關係
6樓：小沐沐
對的，沒錯，就是這樣，合工大五套卷
7樓：匿名使用者
這個答過了, 有疑問追問吧
齊次線性方程組與非齊次線性方程組解向量性質的區別與聯絡
8樓：匿名使用者
區別以下舉例說明:
1、非齊次線
性方程組，等號右邊不全為零的線性方程組，如：
x+y+z=1
2x+y+z=3
x+2y+2z=4
2、齊次線性方程組，等號右邊全為零的線性方程組，如：
x+y+z=0
2x+y+z=0
x+2y+2z=0
一個多項式中各個單項式的次數都相同的式子,我們稱之為齊次式。正如上面例題中的，xyz的次數都是1，所以就是齊次式。
聯絡:方程解加上非齊次方程的一個特解就是對應非齊次方程的解。
齊次線性方程組有無零解和非齊次線性方程組是否有解的判定。
對於齊次線性方程組，當方程組的方程個數和未知量的個數不等時，可以按照係數矩陣的秩和未知量個數的大小關係來判定;
還可以利用係數矩陣的列向量組是否相關來判定;當方程組的方程個數和未知量個數相同時，可以利用係數行列式與零的大小關係來判定，還可以利用係數矩陣有無零特徵值來判定;
對於非齊次線性方程組，可以利用係數矩陣的秩和增廣矩陣的秩是否相等即有關矛盾方程來判定;
還可以從一個向量可否由一向量組線性表出來判定;當方程個數和未知量個數相等時，可以利用係數行列式是否為零來判定非齊次線性方程組的唯一解情況;今年的考題就體現了這種思想。
2、齊次線性方程組的非零解的結構和非齊次線性方程組解的的無窮多解的結構問題。
如果齊次線性方程組有無窮多個非零解時，其通解是由其基礎解系來表示的;
如果非齊次線性方程組有無窮多解時，其通解是由對應的齊次線性方程組和通解加本身一個特解所構成。
9樓：匿名使用者
線性方程組解空間的問題
線性方程組分為齊次線性方程和非齊次方程組。一般n元線性方程組的形式是
寫成矩陣形式就是ax=b,其中a是係數矩陣（m×n），x與b都是1×m列向量
當b=0時，稱為齊次線性方程。
方程的解存性可以看做是用a的列向量能否表示出列向量b的問題，所以當b=0時，至少有一組解即x=0，稱之平凡解；而當a列向量線性無關時，僅有零解；線性相關時就有無陣列解，但是解空間（向量生成的空間）的維數就等於x維數與a的秩的差（n-r，r為a的秩）；解空間的基稱為方程組的基礎解系。
當b≠0時，稱為非齊次線性方程（b=0的齊次方程組稱為與之對應的齊次線性方程組）。與齊次方程組不同，它可能沒有解，有解當且僅當a的秩等於ab合併組成的增廣矩陣的秩，說直白就是a的列向量可以表示出b，或者a的列向量組與增廣矩陣的列向量組等價。而且有解時，解向量組的秩也等於x的維數與a的秩的差。
齊次方程組的解與非齊次方程組的解關係是：非齊次組的解向量等於齊次組的解+非齊次組的一個特解；也就是說只要求出齊次組的解空間的一組基礎解系，比如是α1，α2，……，αs，一個非齊次組的特解比如是x1,，那麼非齊次組所有解可以表示為：x=x1+c1α1+c2α2+……+csα，c1，……，cs為任意常數。
所以求非齊次組的通解只需求出其一個特解，再求出對應的齊次組的基礎解系即可。
區別是：齊次組的解可以形成線性空間（不空，至少有0向量，關於線性運算封閉）；非齊次組的解不能形成線性空間，因為其解向量關於線性運算不封閉：任何齊次組的解得線性組合還是齊次組的解，但是非齊次組的任意兩個解其組合一般不再是方程組的解（除非係數之和為1）而任意兩個非齊次組的解的差變為對應的齊次組的解。
注意到這一點，就知道，齊次組有基礎解系，而非齊次只有通解，不能稱為基礎解系，因這些解不能生成解空間（線性運算不封閉）。
10樓：數學好玩啊
區別：齊次方程的解向量是n-r個線性無關的向量
非齊次方程的解向量是n-r+1個線性無關的向量，由非齊次特解x0和齊次方程的基礎解系構成。
聯絡：任意兩個非齊次特解之差總是齊次方程的解
齊次線性方程組是什麼，什麼叫齊次線性方程組，什麼又叫非齊次線性方程組？
具體如下 齊次線性方程組，常數項全部為零的線性方程組，性質 1.齊次線性方程組的兩個解的和仍是齊次線性方程組的一組解。2.齊次線性方程組的解的k倍仍然是齊次線性方程組的解。3.齊次線性方程組的係數矩陣秩r a n，方程組有唯一零解。齊次線性方程組的係數矩陣秩r a 4.n元齊次線性方程組有非零解的充...
為什麼齊次線性方程組基礎解系是齊次線性方程組的解集的最大無關組
zzllrr小樂 首先，基礎解系中各向量都是線性無關的，其次，所有的解，都可以用基礎解系來線性表出，因此 是解集的最大無關組 為什麼齊次線性方程組基礎解系是齊次線性方程組的解集的最大無關組？ 所謂齊次線性方程組ax 0的基礎解系 1,s,要滿足 1.1,s 是ax 0 的解2.1,s 線性無關 3....
求齊次線性方程組的基礎解系和通解
係數矩陣 1 1 1 1 2 5 3 2 7 7 3 2 r2 2r1,r3 7r1 得 1 1 1 1 0 7 5 0 0 14 10 9 r3 2r2 1 1 1 1 0 7 5 0 0 0 0 9 矩陣的秩為3,n 4,基礎解勸系含一個解勸向量.可取x3為自由未知量,可任給x3以非零值,而求得...