1樓：蹦迪小王子啊
證明：(1+1/n)^n則取對數有nln(1+1/n)<1<(n+1)ln(1+1/n)，1/(n+1)令an=(1+1/n)^na(n+1)-an=1/(n+1)-ln(n+1)+lnn=1/(n+1)-ln((n+1)/n=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0
故an是單調遞減數列
又an=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
>ln(1+1/1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+……+ln(1+1/n)-lnn
=ln2+ln3/2+ln4/3+……+ln[(n+1)/n]-lnn
=ln(2*3/2*4/3*……*(n+1)/n)-lnn
=ln(n+1)-lnn>0
綜上所述：數列是單調遞減，且有下界的數列，由單調有界定理知，數列的極限存在。
2樓：無文玉罕燕
記an=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn，由於1＞ln2，1/2＞ln（3/2），1/3＞ln（4/3），……，1/n＞ln（（n+1）/n），所以1+1/2+1/3+...+1/n-lnn＞ln2+ln（3/2）+ln（4/3）+……+ln（（n+1）/n）-lnn=lnn-lnn=0，所以數列有下界。
a（n+1）-an=1+1/2+1/3+...+1/n+1/（n+1）-ln（n+1）-（1+1/2+1/3+...+1/n-lnn）=1/（n+1）-ln（n+1）+lnn=1/（n+1）-ln（（n+1）/n）＜0，所以數列單調遞減，由單調有界定理，數列收斂，事實上，它的極限就是尤拉常數。
3樓：功秀英雍霜
1+1/2+1/3+...+1/n=求和（k從1到無窮）(lnk)'
用冪級數的知識，把它收弄；
（反正聯絡冪級數的知識去做，把形式變成一樣的）
4樓：潛成宛己
(1+1/n)^nln(1+1/1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+……+ln(1+1/n)-lnn
=ln2+ln3/2+ln4/3+……+ln[(n+1)/n]-lnn
=ln(2*3/2*4/3*……*(n+1)/n)-lnn=ln(n+1)-lnn
>0綜上，數列是單調遞減，且有下界的數列，由單調有界定理知，數列的極限存在，在數學上該極限被稱為尤拉常數，0.55左右。
5樓：茹翊神諭者
簡單計算一下即可，答案如圖所示
求1+1/2+1/3+.......1/n-lnn的極限，
6樓：廣可欣羿婷
自然數來的倒陣列成的源數列,稱為調和數列.
人們已經研究它幾百年了.但是迄今為止沒有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(當n很大時):
1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+c(c=0.57722......一個無理數,稱作尤拉初始,專為調和級數所用)
人們傾向於認為它沒有一個簡潔的求和公式.
但是,不是因為它是發散的,才沒有求和公式.相反的,例如等差數列是發散的,公比的絕對值大於1的等比數列也是發散的,它們都有求和公式.
當n→∞時
1＋1/2＋1/3＋1/4＋
…＋1/n
這個級數是發散的。簡單的說，結果為∞
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
用高中知識也是可以證明的，如下：
1/2≥1/2
1/3＋1/4＞1/2
1/5＋1/6＋1/7＋1/8＞1/2
……1/[2^(k-1)+1]＋1/[2^(k-1)+2]＋…＋1/2^k＞[2^(k-1)](1/2^k)＝1/2
對於任意一個正數a，把a分成有限個1/2
必然能夠找到k，使得
1＋1/2＋1/3＋1/4＋
…＋1/2^k＞a
所以n→∞時，1＋1/2＋1/3＋1/4＋
…＋1/n→∞
如何證明1+1/2+1/3+……+1/n＞lnn？
7樓：尹六六老師
(1)證明當 x＞0 時，
ln(1+x)＜x
【證明】
設 f(x)= ln(1+x)-x
則 f '(x)= 1/(1+x)-1
當 x＞0 時， f '(x)＜0
∴ f(x) 單調遞減，
∴ f(x)＜f(0)=0
∴ ln(1+x)＜x
(2)下面來證明本內題
1＞ln(1+1)=ln2
1/2＞ln(1+1/2)=ln3-ln21/3＞ln(1+1/2)=ln4-ln3…容…1/n＞ln(1+1/n)=ln(n+1)-lnn相加得到，
1+1/2+1/3+……+1/n＞ln(n+1)＞lnn
能證明 1+1/2+1/3+...+1/n-lnn =c(n→正無窮)嗎？
8樓：大蛇錐
c是尤拉常數。
設xn= 1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
so xn+1-xn=1/(n+1)-(ln(n+1)-lnn)
上式令f(x)=lnx 由拉格朗日中值定理：f(x+1)-f(x)=f'(ξ)*(x+1-x) (ξ∈（x,x+1）)
so xn+1-xn=1/(n+1)-(ln(n+1)-lnn)=1/(n+1)-1/ξ<0 即xn>xn+1 (單調遞減) (ξ∈（n,n+1))
由上述可知：ln(n+1)-lnn<1/n
so ln2-ln1<1/1
ln3-ln2<1/2
.....
ln(n+1) -lnn<1/n
將上式相加得xn=1+1/2+...+1/n>ln(n+1) >lnn 即 xn=1+1/2+...+1/n-lnn>0 （有界）
bec xn單調有界
so ( lim(1+1/2+1/3+...+1/n-lnn)
n→正無窮 =c )
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