將二次函式y x平方2x 1的函式影象向上平移單位,再

時間 2021-05-07 20:01:56

1樓:匿名使用者

y=x²-2x+1=(x-1)²,

頂點:(1,0),

向上平移2個單位,向左平移3個單位後,頂點成為(-2,2),∴平移後的拋物線解析式:y=(x+2)²+2=x²+4x+6,∴b=4,c=6,

開口向上,對稱軸x=-2,頂點座標(-2,2)。

二次函式影象的對稱軸、開口、頂點座標怎麼確定

2樓:尹憐夔文

"定義與定義表示式

一般地,自變數x和因變數y之間存在如下關係:

y=ax^2+bx+c

(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函式的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下。iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。)

則稱y為x的二次函式。

二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。

x是自變數,y是x的函式

二次函式的三種表示式

一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)

頂點式:y=a(x-h)^2+k

[拋物線的頂點p(h,k)]

對於二次函式y=ax^2+bx+c

其頂點座標為

(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

交點式:y=a(x-x₁)(x-x

₂)[僅限於與x軸有交點a(x₁

,0)和

b(x₂,0)的拋物線]

其中x1,2=

-b±√b^2-4ac

注:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:

______

h=-b/2a

k=(4ac-b^2)/4a

x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

二次函式的影象

在平面直角座標系中作出二次函式y=x^2的影象,

可以看出,二次函式的影象是一條拋物線。

拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x

=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。

特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有1個頂點p,座標為p

(-b/2a

,(4ac-b^2)/4a

)當-b/2a=0時,p在y軸上;當δ=

b^2-4ac=0時,p在x軸上。

3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。

|a|越大,則拋物線的開口越小。

4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;

當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交於(0,c)

6.拋物線與x軸交點個數

δ=b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。

δ=b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

_______

δ=b^2-4ac<0時,拋物線與x軸木有交點。x的取值是虛數(x=

-b±√b^2-4ac

的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a)

當a>0時,函式在x=

-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;在上是減函式,在上是增函式;拋物線的開口向上;函式的值域是相反不變

當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸,這時,函式是偶函式,解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)

二次函式與一元二次方程

特別地,二次函式(以下稱函式)y=ax^2+bx+c,

當y=0時,二次函式為關於x的一元二次方程(以下稱方程),

即ax^2+bx+c=0

此時,函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。

函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。

1.二次函式y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2

+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不一樣,它們的頂點座標及對稱軸如下表:

解析式y=ax^2

y=a(x-h)^2

y=a(x-h)^2+k

y=ax^2+bx+c

頂點座標

(0,0)

(h,0)

(h,k)

(-b/2a,sqrt[4ac-b^2]/4a)對稱

軸x=0

x=hx=h

x=-b/2a

當h>0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,

當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.

當h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a(x-h)^2

+k的圖象;

當h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

因此,研究拋物線

y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點座標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點座標是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當x

≤-b/2a時,y隨x的增大而減小;當x

≥-b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x

≤-b/2a時,y隨x的增大而增大;當x

≥-b/2a時,y隨x的增大而減小.

4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與座標軸的交點:

(1)圖象與y軸一定相交,交點座標為(0,c);

(2)當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交於兩點a(x₁,0)和b(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的兩根.這兩點間的距離ab=|x₂-x₁|

另外,拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×(-b/2a)-a

|(a為其中一點)

當△=0.圖象與x軸僅有1個交點;

當△<0.圖象與x軸木有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0.

5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:假如a>0(a<0),則當x=

-b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

頂點的橫座標,是取得最值時的自變數值,頂點的縱座標,是最值的取值.

6.用待定係數法求二次函式的解析式

(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般形式:

y=ax^2+bx+c(a≠0).

(2)當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸時,可設解析式為頂點式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).

(3)當題給條件為已知圖象與x軸的2個交點座標時,可設解析式為兩根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).

7.二次函式知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為複雜的綜合題目。因此,以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現.

中考典例

1.(北京西城區)拋物線y=x2-2x+1的對稱軸是(

)(a)直線x=1

(b)直線x=-1

(c)直線x=2

(d)直線x=-2

考點:二次函式y=ax2+bx+c的對稱軸.

評析:由於拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸方程是:y=-,將已知拋物線中的a=1,b=-2代入,求得x=1,故選項a正確.

另一種方法:可將拋物線配方為y=a(x-h)2+k的形式,對稱軸為x=h,已知拋物線可配方為y=(x-1)2,因此對稱軸x=1,應選a.

2.(北京東城區)有1個二次函式的圖象,三位學生分別說出了它的有些特點:

甲:對稱軸是直線x=4;

乙:與x軸2個交點的橫座標都是整數;

丙:與y軸交點的縱座標也是整數,且以這三個交點為頂點的三角形面積為3.

請你寫出滿足上述全部特點的1個二次函式解析式:

.考點:二次函式y=ax2+bx+c的求法

評析:設所求解析式為y=a(x-x1)(x-x2),且設x1<x2,則其圖象與x軸兩交點分別是a(x1,0),b(x2,0),與y軸交點座標是(0,ax1x2).

∵拋物線對稱軸是直線x=4,

∴x2-4=4

-x1即:x1+

x2=8

①∵s△abc=3,∴(x2-

x1)·|a

x1x2|=

3,即:x2-

x1=②

①②兩式相加減,可得:x2=4+,x1=4-

∵x1,x2是整數,ax1x2也是整數,∴ax1x2是3的約數,共可取值為:±1,±3。

當ax1x2=±1時,x2=7,x1=1,a=±

當ax1x2=±3時,x2=5,x1=3,a=±

因此,所求解析式為:y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)

即:y=x2-x+1

或y=-x2+x-1

或y=x2-x+3

或y=-x2+x-3

說明:本題中,只需要填出1個解析式即可,也可用猜測驗證法。例如:

猜測與x軸交點為a(5,0),b(3,0)。再由題設條件求出a,看c是不是整數。若是,則猜測得以驗證,填上即可。

5.(河北省)如圖13-28所示,二次函式y=x2-4x+3的圖象交x軸於a、b兩點,交y軸於點c,則△abc的面積為(

)a、6

b、4c、3

d、1考點:二次函式y=ax2+bx+c的圖象及性質的運用。

評析:由函式圖象可知c點座標為(0,3),再由x2-4x+3=0可得x1=1,x2=3因此a、b兩點之間的距離為2。那麼△abc的面積為3,故應選c。

圖13-28

6.(安徽省)心理學家發現,學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位:分)之間滿足函式關係:y=-0.

1x2+2.6x+43(0<x<30)。y值越大,表示接受能力越強。

(1)x在啥範圍內,學生的接受能力逐步增強?x在啥範圍內,學生的接受能力逐步降低?

(2)第10分時,學生的接受能力是啥?

(3)第幾分時,學生的接受能力最強?

考點:二次函式y=ax2+bx+c的性質。

評析:將拋物線y=-0.1x2+2.

6x+43變為頂點式為:y=-0.1(x-13)2+59.

9,根據拋物線的性質可知開口向下,當x≤13時,y隨x的增大而增大,當x>13時,y隨x的增大而減小。而該函式自變數的範圍為:0≤x≤30,因此2個範圍應為0≤x≤13;13≤x≤30。

將x=10代入,求函式值即可。由頂點解析式可知在第13分鐘時接受能力為最強。解題過程如下:

解:(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9

因此,當0≤x≤13時,學生的接受能力逐步增強。

當13<x≤30時,學生的接受能力逐步下降。

(2)當x=10時,y=-0.1(10-13)2+59.9=59。

第10分時,學生的接受能力為59。

(3)x=13時,y取得最大值,

因此,在第13分時,學生的接受能力最強。

9.(河北省)某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品.據市場分析,若按每千克50元銷售,1個月能售出500千克;銷售單價每漲1元,月銷售量就減少10千克.針對這種水產品的銷售情形,請解答以下問題:

(1)當銷售單價定為每千克55元時,計算月銷售量和月銷售利潤;

(2)設銷售單價為每千克x元,月銷售利潤為y元,求y與x的函式關係式(不必寫出x的取值範圍);

(3)商店想在月銷售成本不超過10000元的情形下,使得月銷售利潤達到8000元,銷售單價應定為多少?

解:(1)當銷售單價定為每千克55元時,月銷售量為:500–(55–50)×10=450(千克),因此月銷售利潤為

:(55–40)×450=6750(元).

(2)當銷售單價定為每千克x元時,月銷售量為:[500–(x–50)×10]千克而每千克的銷售利潤是:(x–40)元,因此月銷售利潤為:

y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x2+1400x–40000(元),

∴y與x的函式解析式為:y

=–10x2+1400x–40000.

(3)要使月銷售利潤達到8000元,即y=8000,∴–10x2+1400x–40000=8000,

即:x2–140x+4800=0,

解得:x1=60,x2=80.

當銷售單價定為每千克60元時,月銷售量為:500–(60–50)×10=400(千克),月銷售成本為:

40×400=16000(元);

當銷售單價定為每千克80元時,月銷售量為:500–(80–50)×10=200(千克),月銷售單價成本為:

40×200=8000(元);

由於8000<10000<16000,而月銷售成本不能超過10000元,因此銷售單價應定為每千克80元."

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1 y x 0 5 2 m 1 x 2m 0 5 2 x m 1 0 5 m 0 5 2m 3所以頂點的座標 m 1,m 0 5 2m 3 所以頂點的軌跡是x m 1,y m 0 5 2m 3,消去m,得y x 0 5 4x所以不論m為何值,二次函式圖象的頂點均在某一函式圖象上,圖象的函式解析式是y...

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