1樓：匿名使用者
求不定積分∫√[x(x-1)]dx
解：∫√[x(x-1)]dx=∫[√(x²-x)]dx=∫√[(x-1/2)²-(1/4)]dx=(1/2)∫√dx；
令2(x-1/2)=2x-1=secu，則dx=(1/2)secutanudu，代入原式得：
原式=(1/4)∫[√(sec²u-1)]secutanudu=(1/4)∫secutan²udu=(1/4)∫secu(sec²u-1)du
=(1/4)[∫sec³udu-∫secudu]=(1/4)[∫du/cos³u-∫secudu]
=(1/4)[(sinu)/(2cos²u)+(1/2)∫secudu-∫secudu]........【注】
=(1/4)[(sinu)/(2cos²u)-(1/2)∫secudu]
=(1/4)[(sinu)/(2cos²u)-(1/2)ln(secu+tanu)]+c
=(1/4)[(2x-1)√(x²-x)]-(1/2)ln(2x-1+2√(x²-x)]+c
【注】為簡化運算，這裡直接使用了遞推公式：
∫du/cosⁿu=(sinu)/[(n-1)cosⁿ⁻¹u]+[(n-2)/(n-1)]∫du/cosⁿ⁻²u.
【以上運算的正確性，可將結果對x求導，看其是否等於被積函式就可得證】
【我已驗證過，確實是正確的】
2樓：松下咲
∫dx/(e^x-e^(-x))
=∫e^xdx/(e^2x-1)
=∫1/(e^2x-1)de^x
=1/2∫[1/(e^x-1)-1/(e^x+1)]de^x=1/2ln(e^x-1)-1/2ln(e^x+1)+c
求不定積分 ∫dx/√[x(x+1)] 具體過程
3樓：匿名使用者
=∫d(x+1/2)/√[（x+1/2)^2+（√3/2）^2]
=ln+c
=ln[x+1/2+√（x^2+x)]+c
4樓：蘆葦
太好學了~~~
我怎麼看不太懂啊，dx是分子？？那個是根號嗎？？？
不定積分∫1／x(x-1)dx
5樓：du知道君
∫√[(1-x)/(1+x)] dx/x^62616964757a686964616fe4b893e5b19e313333613235392
x=cosu dx=sinu √[(1-x)/(1+x)]=(1-cosu)/sinu
原式=∫(1-cosu)du/(cosu)^2
=∫du/(cosu)^2-∫cosudu/(1-sinu)(1+sinu)
=tanu-∫dsinu/[(1-sinu)(1+sinu)]
=tanu-ln[|1+sinu|/|cosu|] +c
=√[(1/x^2)-1 ] -ln[|1+√(1-x^2)|/|x| ]+c
∫dx/(1+x^3)
=∫dx/[(1+x)(1-x+x^2)]=(1/3)∫(1+x)dx/[x(1-x+x^2)]-(1/3)∫dx/[x(1+x)]
=(1/3)∫xdx/[x^2(1-x+x^2)]+(1/3)∫dx/[(x-1/2)^2+3/4]-(1/3)ln[|1+x|/|x|]
=(1/6)∫dx^2/(x^2(1-x+x^2)+... ...=(2/3√3)arctan(2x/√3-1/√3)-(1/3)ln|1+x|/|x|
=(1/6)∫dx^2/[(x-1)(1-x+x^2]+(1/6)∫dx^2/[(x-1)x^2]+...
=(1/3)∫xdx/[(x-1)(x^2-x+1)]+(1/3)∫dx/[x(x-1)]+...
=(1/3)∫(x-1)dx/(x^2-x+1)-(1/3)∫dx/(x-1)+(1/3)∫dx/(x-1)-(1/3)∫dx/x+...
=(1/6)ln|x^2-x+1|-(1/6)∫dx/[(x-1/2)^2+3/4]-(1/3)ln|x|+...
=(1/6)ln|x^2-x+1|+(1/3√3)arctan(2x/√3-1/√3)-(1/3)ln|1+x|+c
求不定積分∫x√(x+1)dx
6樓：匿名使用者
令 t=根號(x+1) x=t^2-1
∫(t^2-1)*td(t^2-1) =∫(t^2-1)*2t^2dt=2/5t^5-2/3t^3+c（常數)
將t=根號(x+1)代入上式即可 望採納
7樓：匿名使用者
^^^原式 = ∫ (x+1)√(x+1)dx - ∫ √(x+1)dx=∫ (x+1)^版(3/2) d(x+1) - ∫ (x+1)^(1/2) d(x+1)
=2/5 ·權 (x+1)^(5/2) - 2/3 · (x+1)^(3/2) +c
8樓：匿名使用者
∫x√(x+1)dx=∫(x+1-1)√(x+1)dx=∫√(x+1)-1/√(x+1)dx
=2(x+1)^(3/2)/3-2(x+1)^(1/2)
求不定積分 1/根號[x(1-x)] dx
9樓：匿名使用者
令x=sin²t，則dx=2sintcostdt√x=sint 且 √(1-x)=cost所以原積分
=∫2dt
=2t+c
=2arcsin√x+c
其中c為常數
10樓：匿名使用者
x-x^2 = 1/4-(x-1/2)^2letx-1/2 =(1/2) sinudx =(1/2)cosu du
∫ dx√[x(1-x)]
=∫ du
=u + c
=arcsin(2x-1) +c
求不定積分dx/根號x(1-x)
11樓：飄渺的綠夢
令（1－x）/x＝t^2，則：1－x＝xt^2，∴（1＋t^2）x＝1，∴x＝1/（1＋t^2），
∴dx＝［2t/（1＋t^2）^2］dt。
∴∫｛1/√［x（1－x）］｝dx
＝∫｛［（1－x）＋x］/√［x（1－x）］｝dx＝∫｛√［（1－x）/x］＋√［x/（1－x）］｝dx＝∫（t＋1/t）［2t/（1＋t^2）^2］dt＝2∫［1/（1＋t^2）］dt
＝2arctant＋c
＝2arctan｛√［（1－x）/x］｝＋c。
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