1樓：雨說情感
托勒密定理：圓內接四邊形兩條對角線的乘積等於兩對對邊乘積之和。
如下圖所示，abcd為圓內接四邊形，則對角線ac與bd的乘積等於一對對邊ab與cd的乘積加上另一對對邊ad與bc的乘積，即ac·bd=ab·cd+ad·bc。
證明：（1）如下圖所示。不妨設∠acb大於∠acd（其實也無所謂，見下圖圖2，先不用管它）。
於是，在∠acb內作一個以點c為頂點、以cb為一邊的∠bce，使∠bce=∠acd（圖(1)中的紅色角）。
又由於∠cad=∠cbe（同弧同側的圓周角相等），所以三角形acd與bce相似。於是有ad : be = ac : bc，即ad·bc=ac·be（稱為1式）。
（2）同理，如上圖圖(2)所示，三角形cde與abc相似。從而有cd : ac = de : ab，即ab·cd=ac·de（稱為2式）。
（3）1式加上2式，即得ad·bc+ab·cd=ac·(be+de)=ac·bd。即
ac·bd=ab·cd+ad·bc證畢。
擴充套件資料
推廣托勒密不等式：凸四邊形的兩組對邊乘積和不小於其對角線的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。
簡單的證明：複數恆等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模，
得不等式ac·bd≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ab·cd+bc·ad
推論1、任意凸四邊形abcd，必有ac·bd≤ab·cd+ad·bc，當且僅當abcd四點共圓時取等號。
2、托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接於一圓。
2樓：娛樂大潮咖
方法一：
（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）
則△abe∽△acd
所以 be/cd=ab/ac,即be·ac=ab·cd (1)由△abe∽△acd得ad/ac=ae/ab,又∠bac=∠ead,
所以△abc∽△aed.
bc/ed=ac/ad,即ed·ac=bc·ad (2)
(1)+(2),得
ac(be+ed)=ab·cd+ad·bc
又因為be+ed≥bd
（僅在四邊形abcd是某圓的內接四邊形時，等號成立，即「托勒密定理」）
複數證明：
用a、b、c、d分別表示四邊形頂點a、b、c、d的複數，則ab、cd、ad、bc、ac、bd的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到複數恆等式：
(a−b)(c−d) + (a−d)(b−c) = (a−c)(b−d) ，兩邊取模，運用三角不等式得。等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與a、b、c、d四點共圓等價。 四點不限於同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
方法二：
設abcd是圓內接四邊形。 在弦bc上，圓周角∠bac = ∠bdc，而在ab上，∠adb = ∠acb。 在ac上取一點k，使得∠abk = ∠cbd； 因為∠abk + ∠cbk = ∠abc = ∠cbd + ∠abd，所以∠cbk = ∠abd。
因此△abk與△dbc相似，同理也有△abd ~ △kbc。 因此ak/ab = cd/bd，且ck/bc = da/bd； 因此ak·bd = ab·cd，且ck·bd = bc·da； 兩式相加，得(ak+ck)·bd = ab·cd + bc·da； 但ak+ck = ac，因此ac·bd = ab·cd + bc·da。證畢。
方法三：
托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等於兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內接四邊形abcd，求證：
ac·bd=ab·cd+ad·bc．
證明：如上圖，過c作cp交bd於p，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△acd∽△bcp．得ac：bc=ad：
bp，ac·bp=ad·bc ①。又∠acb=∠dcp，∠5=∠6，∴△acb∽△dcp．得ac：cd=ab：
dp，ac·dp=ab·cd ②。①+②得 ac(bp+dp)=ab·cd+ad·bc．即ac·bd=ab·cd+ad·bc．
方法四：
廣義托勒密定理：設四邊形abcd四邊長分別為a,b,c,d,兩條對角線長分別為m、n，則有：
擴充套件資料：
1、托勒密定理推廣：
托勒密不等式：凸四邊形的兩組對邊乘積和不小於其對角線的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。
簡單的證明：複數恆等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模，
得不等式 ac·bd≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ab·cd+bc·ad
2、托勒密定理推論
（1）任意凸四邊形abcd，必有ac·bd≤ab·cd+ad·bc，當且僅當abcd四點共圓時取等號。
（2）托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接於一圓
3、托勒密定理運用要點：
（1）等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與a、b、c、d四點共圓等價。
（2）四點不限於同一平面。
尤拉定理：在一條線段上ad上，順次標有b、c兩點，則ad·bc+ab·cd=ac·bd
3樓：清歡
圓的內接四邊形兩條對角線之積=兩組對邊的乘積和
4樓：看
如圖，四邊形abcd內接於圓o，那麼ab*cd+ad*bc=ac*bd
證明：作∠bae=∠cad，交bd於點e
∵∠abe=∠acd，∠bae=∠cad
∴△abe∽△acd
∴ab/ac=be/cd
∴ab*cd=ac*be
∵∠bac=∠ead，∠acb=∠ade
∴△abc∽△aed
∴bc/de=ac/ad
∴bc*ad=ac*de
∴ab*cd+bc*ad=ac*be+ac*de=ac（be+de）=ac*bd
5樓：匿名使用者
ac乘bd等於ab乘cd加ad乘bc
6樓：匿名使用者
zuodengjiaoxian
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