證明X和SINX大小

1樓：小散

這個題原先高三模擬考時考過，原題是在[-π/2，π/2]區間內，y=x和y=sin x有幾個交點，答案是一個，即x=0時有一個交點。該題翻譯過來就是，在[-π/2，π/2]區間內，除了x=0時，sinx=x，sinx和x哪個大，當時很多人做錯了，都選3個，老師講解時，只說靠畫圖，畫準一點解決。。。

現在才想明白怎麼做了，只有用單位圓解決，先說[0，π/2]區間，[-π/2，0]同理。

在單位圓[0，π/2]區間內，sinx值為與x軸垂直的那條豎線，即sin線，這個好理解，那麼x呢？在單位圓內對應哪條線？（這個問題很關鍵，也是考察各位對單位圓及用π表示角度的能否正確理解）。

x是表示角度，我們知道360°角在單位圓中用2π表示，為什麼用2π？因為我們在半徑為1的單位圓中，繞一圈長度就是2π，即x值對應單位圓中一個圓的弧長度！！！

那麼180°角，在單位圓中，就是半圓弧的長度；90°角，就是1/4段圓弧的長度，這樣通過單位圓，我們就把角度和圓完美統一了。。。

再回到此題，[0，π/2]區間內，除了x=0這點，只要單位圓中半徑線一往90°方向旋轉，單位圓的圓弧長度永遠大於sin線的直線長度，所以在[0，π/2]區間內，sinx永遠小於x，這樣可以擴充套件到x從0到無限大，sinx永遠小於x

2樓：匿名使用者

1、一般情形非常簡單，利用函式影象或單位圓就可以知道了。

2、在x接近於0時，用單位圓處理三角函式是一種好辦法。

設a是單位圓與x軸的交點，考察在單位圓的第一象限內，設b點是單位圓上的一點。由正弦定理，三角形oab面積為(1*1*sinx)/2=sinx/2；扇形oab的面積是（1*x）/2=x/2（這是是弧度和半徑的一半）。顯然從面積上考慮有sinx

3、如果在上面的圖形中從a點作x軸的垂線，與ob相交於c點，則ac=tanx，同樣利用面積關係，可以得到不等式sinx

4、如果進一步化簡，可以得到當x趨向於0時，x和sinx可以看成是相等的。也就是說sinx/x在0的極限是1。

5、在高等數學中，根據無窮小兩代換原理，x,sinx,tanx是可以相互代替的，可以看成是相等的。（注意條件：趨向0的情況下。）

3樓：匿名使用者

先考慮正數範圍：

設想一個半徑為 1 的扇形，角度為 2x ，按弧度來說，其弧長就是 2x ；另一方面，sinx 是對邊幣斜邊，也就是 1/2 弦長比半徑 1 ，而從幾何圖形可看出，半弧長 x 顯然大於半弦長。所以 x > sinx .

在利用奇偶性，負數時： x < sinx .