1樓：
實際上是可以採用中值定理的，只不過推導過程麻煩一點：
用中值定理得出的解應該為：
lim∫(0→1)[(x^n)/(1+x)]dx=lim(1-0)*[(ξn^n)/(1+ξn)]
因為ξn具體取什麼值是由n決定的，所以分數上下的ξ值都應該寫作ξn，如果要證明
lim(1-0)*[(ξn^n)/(1+ξn)]=0，則需要證明在取n趨向於無窮大的任意一個n時，這個以n為變數的ξn都不包括1(因為ξn的區間是[0,1])。
求極限基本方法有：
1.直接代入法
對於初等函式f（x）的極限f（x），若f（x）在x點處的函式值f（x）存在，則f（x）=f（x）。直接代入法的本質就是隻要將x=x代入函式表示式，若有意義，其極限就是該函式值。
2.無窮大與無窮小的轉換法
在相同的變化過程中，若變數不取零值，則變數為無窮大量?圳它的倒數為無窮小量。對於某些特殊極限可運用無窮大與無窮小的互為倒數關係解決。
（1）當分母的極限是「0」，而分子的極限不是「0」時，不能直接用極限的商的運演算法則，而應利用無窮大與無窮小的互為倒數的關係，先求其的極限，從而得出f（x）的極限。
（2）當分母的極限為∞，分子是常量時，則f（x）極限為0。
3.除以適當無窮**
對於極限是「」型，不能直接用極限的商的運演算法則，必須先將分母和分子同時除以一個適當的無窮大量x。
2樓：迷路明燈
不是不能用，而是如解析所說，很麻煩。
3樓：
評註裡寫的有點紕漏，實際上是可以採用中值定理的，只不過推導過程麻煩一點：
用中值定理得出的解應該為：
lim∫(0→1)[(x^n)/(1+x)]dx=lim(1-0)*[(ξn^n)/(1+ξn)]
因為ξn具體取什麼值是由n決定的，所以分數上下的ξ值都應該寫作ξn，如果要證明
lim(1-0)*[(ξn^n)/(1+ξn)]=0，則需要證明在取n趨向於無窮大的任意一個n時，這個以n為變數的ξn都不包括1(因為ξn的區間是[0,1])。
要證明這個也不難：
只要證明(x^n)/(1+x)在n大於任意一個數時,x∈[0,1],為單調遞增或遞減函式就可以了，因為如果函式單增或單減，則ξn必在(0,1)之間，不可能取到1。
(x^n)/(1+x) 求導得：
((x^n)/(1+x))'=(n*x^(n-1)*(1+x)-x^n)/(1+x)^2=(n*x^(n-1)+(n-1)*x^n)/(1+x)^2，用肉眼可以看出n>1,x∈[0,1]，時導數都是大於0的，因此ξn取不到1。
求∫ln(1-x)/xdx在0到1的定積分。 10
4樓：星光下的守望者
容易證明，該廣義積分收斂，那麼就可以用無窮級數ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-……ln(1-x)/x=-1-x/2-x^2/3-x^3/4-……=-∑[n從0到∞] x^n/(n+1)
∫[0->1] -∑[n從0到∞] x^n/(n+1)=-∑[n從0到∞]x^(n+1)/(n+1)² | [0->1]
=-∑[n從0到∞] 1/(n+1)²
=-(1+1/2²+1/3²+1/4²+……)=-π²/6而且這是spence function,原式=-li2(1)=-π²/6
求函式極限 lim （1 1 x 3 1 x 3當x1時的極限
1 1 x 3 1 x 3 1 1 x 3 1 x 1 x x 2 1 x x 2 3 1 x 1 x x 2 x 2 x 2 1 x 1 x x 2 x 2 x 1 1 x 1 x x 2 x 2 x 2 x 1 lim 1 1 x 3 1 x 3 當x 1時的極限 lim x 2 x 2 x 1...
求極限lim 1！ 2nn，求極限lim n趨向於無窮（1 n） n次方根下 n 1 n 2 n n
1 2 3 n n 1 1 n 1 n n 1 1 n 1 從第四項起分母都含有n n 1 且比大它，所以後而分母都用n n 1 代後就放大了，這樣的話共有 n 2個1 n n 1 所以1 2 3 n n 1 1 n 1 n n 1 1 n 1 1 n n 2 n n 1 易得1 1 n n 2 n...
x趨向於2時cosx的極限，lim當x趨近於 2時,cosx x 2的極限為
x趨向於 2時cosx的極限是0 x趨向於0時cosx的極限是1.f x0 lim x x0 f x 連續函式可以這樣算。你可以看看高數講極限計算的章節 語言 對於任意 0,取 當0 x 2 cos x sin 2 x 2 x 所以 lim x 2 cos x 0其實對於連續函式，極限就是函式在那個...