1樓：匿名使用者
x^5-1=(x-1)(x^4+x³+x²+x+1)=0顯然x=1是一個實根
因此只要證明x^4+x³+x²+x+1=0沒有實根即可.
當x=0時,上式左右兩邊不等,因此x=0不是方程的根當x≠0時,對上式左邊進行因式分解.
x^4+x³+x²+x+1
=x²(x²+2+1/x²+x+1/x-1)=x²[(x+1/x)²+(x+1/x)+1/4-5/4]=x²[(x+1/x+1/2)²-5/4]∵x≠0,∴x²>0
x+1/x+1/2≥2√(x*1/x)+1/2=5/2,當且僅當x=1/x,即x=±1時取等號.
∴(x+1/x+1/2)²≥25/4>5/4即(x+1/x+1/2)²-5/4>0
∴考慮x=0時左邊=1>0,可知對任意實數x,x^4+x³+x²+x+1>0恆成立
即x^4+x³+x²+x+1=0無實根
∴原方程有且只有一個實根.
2樓：煉焦工藝學
利用函式的單調性證明，最為直觀
設f(x)=x∧5＋1
則 f'(x)=5x∧4≥0
∴f(x)=x∧5＋1在r上單調遞增
∵f(-2)＜0； f(1)＞0
∴必存在一點a∈[-2,1]，使f(a)=0∴x∧5＋1=0只有一個實數根
3樓：今生一萬次回眸
∵ x∧5＋1=0
∴ x∧5=-1
∵ 一個負數的奇數次冪是負數
∴ x是一個負數，即x=5次根號-1=-1
4樓：自然醒
求導的4倍x的4次方恆大於等於0，所以函式是單調遞增的，x等於-2時小於0，x等於1時大於零，由零點存在定理可知有實根，又因為單調所以只有一個實數根
5樓：迷茫的小孩啊啊
x等於-2時小於0，x等於1時大於零，由零點存在定理可知有實根，又因為單調所以只有一個實數根
證明方程x^5-5x+1=0有且僅有一個小於1的正實根
6樓：116貝貝愛
證明如下：
x^5-5x+1=0
證明：f(x)=x^5-5x+1
f（0）=1，f(1)=-3，介值定理，有一個根x，使得f（x.）=0
設有x1在（0,1）x1不等於x。
根據羅爾定理，至少存在一個e，e在x.和x1之間，使得f'(e)=0
f『（e）=5（e^4-1)〈0矛盾
∴為唯一正實根
有界函式判定方法：
設函式f(x)是某一個實數集a上有定義，如果存在正數m
對於一切x∈a都有不等式|f(x)|≤m的則稱函式f(x)在a上有界，如果不存在這樣定義的正數m則稱函式f(x)在a上無界
設f為定義在d上的函式，若存在數m（l），使得對每一個x∈d有： ƒ(x)≤m（ƒ(x)≥l）。
則稱ƒ在d上有上（下）界的函式，m（l）稱為ƒ在d上的一個上（下）界。
根據定義，ƒ在d上有上（下）界，則意味著值域ƒ(d)是一個有上（下）界的數集。又若m(l)為ƒ在d上的上（下）界，則任何大於（小於）m（l）的數也是ƒ在d上的上（下）界。
根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界
。一個特例是有界數列，其中x是所有自然數所組成的集合n。所以，一個數列(a0,a1,a2, ... ) 是有界的。
7樓：匿名使用者
x^5-5x+1=0
f(x)=x^5-5x+1
f（0）=1.f(1)=-3.介值定理。有一個根x。使得f（x。）=0
設有x1在（0，1）x1不等於x。根據
羅爾定理，至少存在一個e，e在x。和x1之間，使得f'(e)=0.
f『（e）=5（e^4-1)〈0矛盾，所以為唯一正實根
8樓：匿名使用者
δ=25-4=21>0 有根
x1+x2=5 x1×x2=1
相乘為正 可以判斷出 兩根通號 相加為正 可判斷兩根同為正相乘為1 說明兩根不可能都小於1或大於1， 那麼只有一個大於1 一個小於1
所以方程有且只有一個小於1的正實根
9樓：追逐天邊的彩雲
題目好像有問題，不妨令f(x)=x^5-5x+1,可得f(1)=-3,f(3)>0,函式在次區間單調，由零點定理故在1到3之間也有根。反正這類題目考慮單調性和零點定理就能搞定。
證明方程x∧5+5x-1=0在開區間（0，1）內至少有一個根 10
10樓：匿名使用者
解:令 f(x)=x^5 -5x +1 則f'(x)=5x^4 -5=5(x^4 -1)=5(x2+1)(x2-1) 令 f'(x)>0，得 x2>1，解得 x>1或x<-1 從而 f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上是增函式，在(-1，1）上是減函式。又 f(0)=1，所以 f(0)f(-1)<0，而f(x)在(0,1)上減，即 f(x)在(0,1)上有且只有一個零點。
從而 方程x^5-5x+1=0有且僅有一個小於1的正實根.
11樓：匿名使用者
f(x)=x^5+5x-1
f(0) =-1<0
f(1)=1+5-1 = 5 >0
=>
證明方程：x^5+2x-100=0有且僅有一個實根。
12樓：匿名使用者
這個題主來要是考察函式的單調性
源和零值定理：bai
可設f（x）=x^du5+2x-100，
1、如果你學過導zhi數，就直接dao對f（x）求導，可得f'(x)=5x^4+2>0，即f（x）在定義域上單調遞增，又f（14）<0,
f（15）>0, 所以可以判定f（x）有且僅有一根，且該根在14到15之間。
2、如果沒學過導數，就直接用定義證明函式f（x）單調遞增設x1，x2都是函式定義域內實數，且x1f（x1）—f（x2）<0知，函式單調遞增，後面同1解法。
希望可以幫到你！
13樓：匿名使用者
f'(x)=5x^4+2>0可見x^5+2x-100在r上遞增，
f(0)<0,f(10)>0, 影象 有解，
又由單調，有且僅有一個實根
14樓：手機使用者
同學你問這種題來型，很顯然已自經學了導數了，那麼有設方程f(x)=x^5+2x-100
則有，f'(x)=5x^4+2>0 可見f(x)在r上是單調遞增的，
很顯然，f(0)<0,f(9)>0（這裡任意選一數，使f(x)>0）,又由單調，結合圖形，可知方程曲線和x軸僅有一個交點（因為若有兩個交點，則函式不單調了），所以有且僅有一個實根
如何證明方程x5 3X 2 0只有正根
令f x x 5 3x 2 則f x 5x 4 3 0 因此f x 在r上單調增，又f 0 2 0 f 1 2 0 因此f x 有唯一零點，且在 0,1 區間。所以方程只有一個正根。 證 設函式f x x 3x 2，函式是初等函式，在定義域上連續。x取任意實數，函式f x 恆有意義，函式的定義域為r...
證明X和SINX大小
小散 這個題原先高三模擬考時考過，原題是在 2，2 區間內，y x和y sin x有幾個交點，答案是一個，即x 0時有一個交點。該題翻譯過來就是，在 2，2 區間內，除了x 0時，sinx x，sinx和x哪個大，當時很多人做錯了，都選3個，老師講解時，只說靠畫圖，畫準一點解決。現在才想明白怎麼做了...
如何證明sin方x cos方x，如何證明sin方x cos方x
伯牙覓琴 在直角三角形中，設較小小銳角為x，短直角邊為a，長直角邊為b，那麼斜邊為 a b sinx a a b cosx b a b 所以sin x cos x 1。手機黨手碼，無圖見諒。 嘿嘿，假如說前面的那幾位的答案不完整的話，你要求完整的話，那也可以的呀，sin跟cos都有著其性質，換句話說...