1樓：假面
建構函式p(y)=∫ln(1+yx)/x(1+x²)dx，則有p=p(1)-p(0)=∫(0到1)p'(y)dyp'(y)=∫x/(1+yx)x(1+x²)dx=∫1/(1+xy)(1+x²)dx
=1/(1+y²)∫(1-xy)/(1+x²)+y²/(1+xy)dx
=(arctanx-(y/2)ln(1+x²)+yln(1+xy))/(1+y²)
=(π/4-yln2/2+yln(1+y))/(1+y²)一個函式，可以存在不定積分，而不存在定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函式，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。
∫(上限1,下限0)ln(x+1)dx,用分部積分法計算該定積分
2樓：小小芝麻大大夢
∫(上限1,下限0)ln(x+1)dx=2ln2-1。
解答過程如下：
∫ln(x+1)dx
=xln(x+1)-∫xd[ln(x+1)]=xln(x+1)-∫[x/(x+1)]dx=xln(x+1)-∫[1-1/(x+1)]dx=xln(x+1)-∫dx+∫[1/(x+1)]d(x+1)=xln(x+1)-x+ln(x+1)+c（c為積分常數）代入上下限
=ln2-1+ln2
=2ln2-1
擴充套件資料：分部積分：
(uv)'=u'v+uv'，得：u'v=(uv)'-uv'。
兩邊積分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx。
即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,這就是分部積分公式。
也可簡寫為：∫ v du = uv - ∫ u dv。
常用積分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c
3樓：匿名使用者
分部積分法：
∫ln(x+1)dx
=xln(x+1)-∫xd[ln(x+1)]=xln(x+1)-∫[x/(x+1)]dx=xln(x+1)-∫[1-1/(x+1)]dx=xln(x+1)-∫dx+∫[1/(x+1)]d(x+1)=xln(x+1)-x+ln(x+1)+c代入上下限
=ln2-1+ln2
=2ln2-1
4樓：王鳳霞醫生
^∫ln(x+√
(1+x^2))dx=xln(x+√(1+x^2))-∫xdln(x+√(1+x^2)
=xln(x+√(1+x^2)-√(1+x^2)+c∫[0,1]ln(x+√(1+x^2)dx=ln(1+√2)-√2+1
5樓：雙子孫偉業
直接把dx換成d（x+1）
然後分步積分
∫ln(1+x)/(x(x²+1))dx 定積分0到1
6樓：116貝貝愛
結果為：(7/96)π²-(1/8)ln²2
解題過程如下：
∵dx/[x(1+x²)]=dx[1/x-x/(1+x²)]=d[lnx-(1/2)ln(1+x²)]
∴原式=-(1/2)ln²2-∫(0,1)[lnx-(1/2)ln(1+x²)]dx/(1+x)
而，∫(0,1)lnxdx/(1+x)=∑[(-1)^n]∫(0,1)(x^n)lnxdx=-∑[(-1)^n]/(n+1)²=-π²/12
∴原式=-(1/2)ln²2+π²/12+(1/2)∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)
設i(α)=∫(0,1)ln(1+αx²)dx/(1+x)
∴i(0)=0，i(1)=∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)
α∈(0,1)，i(α)是連續函式
∴對α求導，有i'(α)=∫(0,1)x²dx/[(1+x)(1+αx²)
∴i'(α)=[1/(1+α][ln2-(2/α)ln(1+α)-(1/√α)arctan(√α)]
∴i(1)=∫(0,1)i'(α)dα=(3/4)ln²2-∫(0,1)lnαdα/(1+α)-π²/16
∴=(7/96)π²-(1/8)ln²2
求函式積分的方法：
設f（x）是函式f（x）的一個原函式，我們把函式f（x）的所有原函式f（x）+c（c為任意常數）叫做函式f（x）的不定積分，記作，即∫f（x）dx=f（x）+c。
其中∫叫做積分號，f（x）叫做被積函式，x叫做積分變數，f（x）dx叫做被積式，c叫做積分常數，求已知函式不定積分的過程叫做對這個函式進行積分。
積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對於一個給定的實函式f（x），在區間[a，b]上的定積分。
若f（x）在[a,b]上恆為正，可以將定積分理解為在oxy座標平面上，由曲線（x，f（x））、直線x=a、x=b以及x軸圍成的面積值（一種確定的實數值）。
7樓：
分享一種解法。∵dx/[x(1+x²)]=dx[1/x-x/(1+x²)]=d[lnx-(1/2)ln(1+x²)]，∴原式=-(1/2)ln²2-∫(0,1)[lnx-(1/2)ln(1+x²)]dx/(1+x)。
而，∫(0,1)lnxdx/(1+x)=∑[(-1)^n]∫(0,1)(x^n)lnxdx=-∑[(-1)^n]/(n+1)²=-π²/12①。
∴原式=-(1/2)ln²2+π²/12+(1/2)∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)②。
設i(α)=∫(0,1)ln(1+αx²)dx/(1+x)。∴i(0)=0，i(1)=∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)。顯然，在α∈(0,1)，i(α)是連續函式。
∴對α求導，有i'(α)=∫(0,1)x²dx/[(1+x)(1+αx²)。
∴i'(α)=[1/(1+α][ln2-(2/α)ln(1+α)-(1/√α)arctan(√α)]。∴i(1)=∫(0,1)i'(α)dα=(3/4)ln²2-∫(0,1)lnαdα/(1+α)-π²/16③。
∴綜合①、②、③式，原式=(7/96)π²-(1/8)ln²2。
供參考。
8樓：鳳凰谷的司徒寒
答：先計算不定積分 ∫ x/(x2+1) dx =(1/2) ∫ 1/(x2+1) d(x2+1) =(1/2) ln(x2+1)+c 0---1的定積分=(1/2)*[ln(1+1)-ln(0+1)]=(ln2)/2
9樓：為了生活奔波
∫(1,0)ln(1+x)dx =xln(1+x)(1,0)-∫(1,0)x/(x+1) dx =ln2-∫(1,0)dx+∫(1,0)dx/(x+1) =ln2-1+ln(x+1)(1,0) =ln2-1+ln2 =2ln2-1.
∫ln(1+x)/(x(x²+1))dx 定積分0到1
10樓：融梓倩廉晏
分享一種解法。∵dx/[x(1+x²)]=dx[1/x-x/(1+x²)]=d[lnx-(1/2)ln(1+x²)]，∴原式=-(1/2)ln²2-∫(0,1)[lnx-(1/2)ln(1+x²)]dx/(1+x)。
而，∫(0,1)lnxdx/(1+x)=∑[(-1)^n]∫(0,1)(x^n)lnxdx=-∑[(-1)^n]/(n+1)²=-π²/12①。
∴原式=-(1/2)ln²2+π²/12+(1/2)∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)②。
設i(α)=∫(0,1)ln(1+αx²)dx/(1+x)。∴i(0)=0，i(1)=∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)。顯然，在α∈(0,1)，i(α)是連續函式。
∴對α求導，有i'(α)=∫(0,1)x²dx/[(1+x)(1+αx²)。
∴i'(α)=[1/(1+α][ln2-(2/α)ln(1+α)-(1/√α)arctan(√α)]。∴i(1)=∫(0,1)i'(α)dα=(3/4)ln²2-∫(0,1)lnαdα/(1+α)-π²/16③。
∴綜合①、②、③式，原式=(7/96)π²-(1/8)ln²2。
供參考。
求解定積分∫(上限1，下限0）ln(x+1)/(2-x)^2.dx的解題過程，請高手幫幫忙
11樓：匿名使用者
分部積分：＝積分（從0到1）ln(1+x)d(1/(2-x))=ln(1+x)/(2-x)|上限1下限0－積分（從0到1）1/(2-x)*1/(1+x)dx，後面是有理函式積分能積出來了。
定積分0到1∫xln（x+1）等於多少 求過程
12樓：
∫xln(x+1)dx
＝∫ln(x+1)d(1/2*x^2)
＝1/2×x^2×ln(x+1)－1/2×∫x^2dln(x+1)＝1/2×x^2×ln(x+1)－1/2×∫x^2/(x+1)dx＝1/2×x^2×ln(x+1)－1/2×∫[x-1+1/(x+1)]dx
＝1/2×x^2×ln(x+1)－1/2×[1/2×x^2－x＋ln(x+1)]＋c
＝1/2×(x^2－1)×ln(x+1)－1/4×(x^2－2x)＋c
代入結果為1/4.
定積分計算:積分限是[0,1]，被積函式是 ln(1+x)/(1+x^2)，求該定積分。
13樓：
設x=tant. t∈[0, π/4].
則 ∫ ln(1+x)/(1+x^2) dx.
=∫ ln(1+tant)/ (1+tant ^2) *sect^2 dt.
=∫ ln(1+tant) dt.
=∫ ln(sint+tant)-ln(cost) dt.
=∫ ln(√2 *(sin(t+π/4)))-ln(cost) dt.
=∫ 1/2 *ln2+ln(sin(t+π/4))-ln(cost) dt.(t從0->π/4).
=π*ln2/8+∫ ln(sint) dt (t從π/2->π/4) -∫ ln(sint) dt (t從π/2->π/4).
=π*ln2/8.
14樓：
你再看一看，是不是題目錯誤了
求定積分：∫ ln(1+x)/(2-x)^2dx.上限1,下限0.
15樓：季成佟橋
先用對數函式的性質把原式變為:
=∫ln(1+x)dx-2∫ln(2-x)dx而lnx的積分為ln(x)*x-x+c
這樣上面的不定積分就可以求解了吧
具體的步驟
我就不寫了
暈,怎麼不寫清楚?
利用分部積分法.
原式=ln(1+x)*[-1/(2-x)]-∫[1/(1+x)]*[-1/(2-x)]dx
=ln(1+x)*[-1/(2-x)]+(1/3)*∫[1/(1+x)+1/(2-x)]dx
這裡我省了上限1,下限0,不過應該能看懂吧.
剩下的應該可以自己做了吧?
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