1樓：張弛
[編輯本段]定義與定義表示式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：
一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函式。
頂點式：y=a(x-h)^2+k
交點式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2)
重要概念：（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。）
二次函式表示式的右邊通常為二次。
x是自變數，y是x的二次函式
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
[編輯本段]二次函式的影象
在平面直角座標系中作出二次函式y=x²的影象，
可以看出，二次函式的影象是一條永無止境的拋物線。不同的二次函式影象
[編輯本段]拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點p，座標為p ( -b/2a ，(4ac-b²)/4a )
當-b/2a=0時，p在y軸上；當δ= b²-4ac=0時，p在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大於0，所以a、b要同號
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小於0，所以a、b要異號
事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函式解析式（一次函式）的斜率k的值。可通過對二次函式求導得到。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數
δ= b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
δ= b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
_______
δ= b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。x的取值是虛數（x= -b±√b²－4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）
當a>0時，函式在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在上是減函式，在上是增函式；拋物線的開口向上；函式的值域是相反不變
當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式，解析式變形為y=ax²+c(a≠0)
7.定義域：r
值域：（對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b²)/4a，正無窮）；②[t，正無窮）
奇偶性：偶函式
週期性：無
解析式：
①y=ax²+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；
⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）；
⑷δ=b²-4ac,
δ＞0，圖象與x軸交於兩點：
（[-b-√δ]/2a，0）和（[-b+√δ]/2a，0）；
δ＝0，圖象與x軸交於一點：
（-b/2a，0）；
δ＜0，圖象與x軸無交點；
②y=a(x-h)²+t[配方式]
此時，對應極值點為（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b²)/4a）；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式]
a≠0，此時，x1、x2即為函式與x軸的兩個交點，將x、y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。
[編輯本段]二次函式與一元二次方程
特別地，二次函式（以下稱函式）y=ax²+bx+c，
當y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax²+bx+c=0
此時，函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。
1．二次函式y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)² +k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點座標及對稱軸如下表：
解析式y=ax²
y=ax²+k
y=a(x-h)²
y=a(x-h)²+k
y=ax²+bx+c
頂點座標
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，sqrt[4ac-b²]/4a)
對 稱 軸
x=0x=0x=h
x=hx=-b/2a
當h>0時，y=a(x-h)²的圖象可由拋物線y=ax²向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)²+k的圖象；
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象；
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象；
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象；
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)²+k的形式，可確定其頂點座標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點座標是(-b/2a，[4ac-b²]/4a)．
3．拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小．
4．拋物線y=ax²+bx+c的圖象與座標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點座標為(0，c)；
(2)當△=b²-4ac>0，圖象與x軸交於兩點a(x₁，0)和b(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離ab=|x₂-x₁| 另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－a |（a為其中一點的橫座標）
當△=0．圖象與x軸只有一個交點；
當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．
5．拋物線y=ax²+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a．
頂點的橫座標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱座標，是最值的取值．
6．用待定係數法求二次函式的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax²+bx+c(a≠0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸或極大（小）值時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點座標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．
7．二次函式知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．
[編輯本段]中考典例
1．(北京西城區)拋物線y=x²-2x+1的對稱軸是( )
(a)直線x=1 (b)直線x=-1 (c)直線x=2 (d)直線x=-2
考點：二次函式y=ax²+bx+c的對稱軸．
評析：因為拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸方程是：x=-b/2a，將已知拋物線中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故選項a正確．
另一種方法：可將拋物線配方為y=a(x-h)²+k的形式，對稱軸為x=h，已知拋物線可配方為y=(x-1)²，所以對稱軸x=1，應選a．
2．( 北京東城區)有一個二次函式的圖象，三位學生分別說出了它的一些特點：
甲：對稱軸是直線x=4；
乙：與x軸兩個交點的橫座標都是整數；
丙：與y軸交點的縱座標也是整數，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3．
請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函式解析式： ．
考點：二次函式y=ax²+bx+c的求法
評析：設所求解析式為y=a(x-x1)(x-x2)，且設x1＜x2，則其圖象與x軸兩交點分別是a(x1，0)，b(x2，0)，與y軸交點座標是(0，ax1x2). 『因為頂點式a(x+x1)(x+x2),又因為與y軸交點的橫座標為0，所以a(0+x1)(0+x2),也就是ax1x2
∵拋物線對稱軸是直線x=4，
∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8 ① ∵s△abc=3，∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 3，
即：x2- x1= ②
①②兩式相加減，可得：x2=4+，x1=4-
∵x1，x2是整數，ax1x2也是整數，∴ax1x2是3的約數，共可取值為：±1，±3。
當ax1x2=±1時，x2=7，x1=1，a=±
當ax1x2=±3時，x2=5，x1=3，a=±
因此，所求解析式為：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)
即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3
說明：本題中，只要填出一個解析式即可，也可用猜測驗證法。例如：
猜測與x軸交點為a(5，0)，b(3，0)。再由題設條件求出a，看c是否整數。若是，則猜測得以驗證，填上即可。
5．( 河北省)如圖13-28所示，二次函式y=x²-4x+3的圖象交x軸於a、b兩點，交y軸於點c，則△abc的面積為( )
a、6 b、4 c、3 d、1
考點：二次函式y=ax2+bx+c的圖象及性質的運用。
評析：由函式圖象可知c點座標為(0，3)，再由x²-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以a、b兩點之間的距離為2。那麼△abc的面積為3，故應選c。
圖13-28
6．( 安徽省)心理學家發現，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位：分)之間滿足函式關係：y=-0.
1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越強。
(1)x在什麼範圍內，學生的接受能力逐步增強？x在什麼範圍內，學生的接受能力逐步降低？
(2)第10分時，學生的接受能力是什麼？
(3)第幾分時，學生的接受能力最強？
考點：二次函式y=ax²+bx+c的性質。
評析：將拋物線y=-0.1x2+2.
6x+43變為頂點式為：y=-0.1(x-13)2+59.
9，根據拋物線的性質可知開口向下，當x＜13時，y隨x的增大而增大，當x>13時，y隨x的增大而減小。而該函式自變數的範圍為：0＜x3＜0，所以兩個範圍應為0＜x＜13；13＜x＜30。
將x=10代入，求函式值即可。由頂點解析式可知在第13分鐘時接受能力為最強。解題過程如下：
解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
所以，當0＜x＜13時，學生的接受能力逐步增強。
當13＜x＜30時，學生的接受能力逐步下降。
(2)當x=10時，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。
第10分時，學生的接受能力為59。
(3)x=13時，y取得最大值，
所以，在第13分時，學生的接受能力最強。
9．( 河北省)某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品．據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克．針對這種水產品的銷售情況，請解答以下問題：
(1)當銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；
(2)設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的函式關係式(不必寫出x的取值範圍)；
(3)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？
解：(1)當銷售單價定為每千克55元時，月銷售量為：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月銷售利潤為
:(55–40)×450=6750(元)．
(2)當銷售單價定為每千克x元時，月銷售量為：[500–(x–50)×10]千克而每千克的銷售利潤是:(x–40)元，所以月銷售利潤為：
y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x²+1400x–40000(元)，
∴y與x的函式解析式為：y =–10x²+1400x–40000．
(3)要使月銷售利潤達到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，
即：x2–140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80．
當銷售單價定為每千克60元時，月銷售量為：500–(60–50)×10=400(千克)，月銷售成本為：
40×400=16000(元)；
當銷售單價定為每千克80元時，月銷售量為：500–(80–50)×10=200(千克)，月銷售單價成本為：
40×200=8000(元)；
由於8000＜10000＜16000，而月銷售成本不能超過10000元，所以銷售單價應定為每千克80元．
19．2006義烏市經濟繼續保持平穩較快的增長態勢，全市實現生產總值 元，已知全市生產總值＝全市戶籍人口×全市人均生產產值，設義烏市2023年戶籍人口為x（人），人均生產產值為y（元）．
（1）求y關於x的函式關係式；
（2）2023年義烏市戶籍人口為706 684人，求2023年義烏市人均生產產值（單位：元，結果精確到個位）：若按2023年全年美元對人民幣的平均匯率計（1美元＝7.
96元人民幣），義烏市2023年人均生產產值是否已跨越6000美元大關？
20．下圖1為義烏市2023年，2023年城鎮居民人均可支配收入構成條形統計圖。圖2為義烏市2023年城鎮居民人均可支配收入構成扇形統計圖，城鎮居民個人均可支配收入由工薪收入、經營淨收入、財產性收入、轉移性收入四部分組成。請根據圖中提供的資訊回答下列問題：
（1）2023年義烏市城鎮居民人均工薪收入為________元，2023年義烏市城鎮居民人均可支配收入為_______元；
（2）在上圖2的扇形統計圖中，扇形區域a表示2023年的哪一部分收入：__________．
（3）求義烏市2023年到2023年城鎮居民人遠親中支配收入的增長率（精確到0．1℅）
19．解：（1） （x為正整數）
（2）2023年全市人均生產產值= （元）（2分）
我市2023年人均生產產值已成功跨越6000美元大關（1分）²
二次函式題，數學題 二次函式
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二次函式和根號下的二次函式的區別
f x x 2x 8 x 2x 8 0 x 2x 8 0 x 4 x 2 0 4 x 2 令g x x 2x 8 x 1 9,x 4,2 f x g x g x 的對稱軸x 1 當x 1,2 時 由冪函式的單調性可知x g x f x f x 的單調遞減區間是 1,2 兩者的圖象沒什麼聯絡的,根號下...
二次函式a,bc各代表什麼，二次函式中的a b c各表示什麼意思
謝倫代嬋 a 表示開口方向及大小，a是正數，則開口向上，a是負數，則開口向下 b 用處可多了，可以表示一個拋物線的對稱軸，用公式 b 2a可求出其對稱軸，若b與a符號相反，對稱軸則在x軸右側，若a與b符號相同，對稱軸則在左側，簡稱左同右異 c 拋物線與y軸的交點，若在交y軸正半軸，則c是個正數，若交...