在三角形ABC中,O為外心,I為內心,H為重心,求證AI平分角OAH

時間 2021-09-08 10:34:41

1樓:

證明:因為ai平分角bac,所以要證明ai平分角oah,只要證明角bao=角cah.

連ao並延長交圓o於點e,連ah並延長交bc於點f.因為ae為圓的直徑,所以角abe=90度;又由圓周角定理知角f=角c;而h為垂心,所以af垂直bc,角afc=90度,所以角fac=90度-角c=90度-角f=角bao,即角bao=角cah 成立,因此角oai=角bai-角bao=角cai-角cah=角hai.因此ai平分角oah.

2樓:匿名使用者

設這個三角形為三角形abc,其內心為i,外心為o,垂心為h,要證明ai平分角oah.證明:因為ai平分角bac,所以要證明ai平分角oah,只要證明角bao=角cah.

連ao並延長交圓o於點e,連ah並延長交bc於點f.因為ae為圓的直徑,所以角abe=90度;又由圓周角定理知角f=角c;而h為垂心,所以af垂直bc,角afc=90度,所以角fac=90度-角c=90度-角f=角bao,即角bao=角cah 成立,因此角oai=角bai-角bao=角cai-角cah=角hai.因此ai平分角oah

已知△abc中,o為外心,i為內心,且ab+ac=2bc.求證:oi⊥ai(圖

3樓:陌上荼蘼花

這是角平分線定義 如圖 ad是角平分線則有ab/be=ac/ce因為ic為角平分線 則有ac/ai=ec/ei

整理兩式的ab/be=/ac/ce=ai/ie 根據合分比定理 ab+ac/be+ce=ac/ce=ab/be

ab+ac=2bc be+ce =bc所以ab/be=2因為三角形abe相似三角形adc 所以ad=2dcdc=2di(內心性質)所以ad=2di o為外心 所以oi垂直ai

4樓:匿名使用者

mbw證明:

輔助線如圖所示:

∵o為外心

∴∠aob=2∠c=60°

∴△aob為等邊三角形

∵i為內心

∴∠iab=∠iae

又∵ab=ae

利用sas可知:△iab≌△iae

同理可證:△iab≌△idb

∴∠eia=∠dib=∠aib

=180°-(∠iab+∠iba)=180°-(∠cab+∠cba)/2

=180°-(180°-30°)/2=105°∴∠eid=360°-3∠eia=360°-3×105°=45°∠efd

=(∠aeo-∠ecf)+(∠bdi-∠dcf)=∠aeo+∠bdi-(∠ecf+∠dcf)

=(90°-∠eao/2)+∠bai-30°=60°+(∠bae-∠eao)/2

=60°+∠bao/2=60°+30°

=90°

∴eo⊥di

同理可知:do⊥ei

∴o為△eid的垂心

∴io⊥ed

∴∠oid+∠edi=∠deo+∠edi=90°∴∠oid=∠deo

又∵∠eid=45°

∴△efi為等腰直角三角形

∴ef=if

根據asa知:△oif≌△def

∴oi=ed

綜上所述:oi⊥ed且oi=ed

證畢!gha

5樓:柏圖拉式

證明:∵i是內心,

∴ac ce =ab be =ai ie ,ac+ab bc =ab be .

又∵ac+ab=2bc,

∴ab=2be.由△abe∽△adc知ad=2dc.又∵dc=di(內心性質),

∴ad=2di.

而o是外心,

∴oi⊥ai.

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