已知函式f(x)的定義域是R,若f x 2 是偶函式,f x 7 也是偶函式,且

時間 2021-08-31 05:53:41

1樓:匿名使用者

1、設g(x)=f(x-2),則g(-x)=f(-x-2)

由g(-x)=g(x),得f(-x-2)=f(x-2),

即f(-2+x)=f(-2-x),可見y=f(x)的影象關於直線x=-2對稱,

同理,由f(7+x)=f(7-x),得y=f(x)的影象關於直線x=7對稱。

【從影象來考慮:

對任意a,點(a,f(a-2)是函式y=f(x-2)上一點,則(a-2,(fa-2))是y=f(x)影象上一點,

即y=f(x-2)影象上的點向左平移2個單位得到y=f(x)影象上的點。反之亦然。

所以y=f(x-2)的影象向右平移-2個單位(向左平移2個單位)即得到y=f(x)的影象,

從而y=f(x-2)的對稱軸向左平移2個單位即得到y=f(x)的對稱軸,

同理,y=f(x+7)的對稱軸向右平移7個單位即得到y=f(x)的對稱軸】

由上面的討論,我們已經看到y=f(x)的兩條對稱軸x=-2和x=7

2、接下來產生的新想法,如果以兩條對稱軸中間的一條為對稱軸,另一條的對稱圖形是什麼呢?

例如直線x=-2關於直線x=7(對稱軸)的對稱圖形是什麼?

很顯然是直線x=16,並且也是對稱軸。

那麼直線x=-2右面的影象上的點又會怎樣呢?例如(1,f(1)),在直線x=-2的右方3單位

即1=-2+3,又1=7-6,所以(1,f(1))關於直線x=7的對稱點為(7+6,f(1)),即(13,f(1))也在y=f(x)的影象上

不過(1,f(1)),在直線x=-2的右方3單位,而(13,f(1))在直線x=16的左方3單位。

但是(1,f(1))關於x=-2的對稱點是(-2-3,f(1)),即(-5,f(1))在函式y=f(x)的影象上,

而(-5,f(1))關於x=7的對稱點(19,f(1))恰是(13,f(1))關於直線x=16的對稱點,也在函式y=f(x)的影象上。

3、由此我們覺得y=f(x)是個周期函式,18是它的一個正週期,下面給出推證:

對任意a∈r,點(a,f(a))在函式影象上

又f(a)=f(-2+(a+2))=f(-2-(a+2))=f(-4-a)=f(7-(11+a))=f(7+(11+a))=f(a+18),

所以y=f(x)是周期函式,18是它的一個正週期。

4、我們只要求出在一個週期裡函式有幾個零點。這個週期我們取[-2,16]

f(1)=f(7-6)=f(7+6)=f(13)=f(-2+15)=f(-2-15)=f(-17)=f(7-24)=f(7+24)=f(31)——出界了!

再看看f(1)=f(-2+3)=f(-2-3)=f(-5)=f(7-12)=f(7+12)=f(19)=f(-2+21)=f(-2-21)=f(-23)=f(7-30)=f(7+30)=f(37)

f(3)=f(7-4)=f(7+4)=f(11)=f(-2+13)=f(-2-13)=f(-15)=f(7-22)=f(7+22)=f(29)

f(3)=f(-2+5)=f(-2-5)=f(-7)=f(7-14)=f(7+14)=f(21)=f(-2+23)=f(-2-23)=f(-25)=f(7-32)=f(7+32)=f(39)

這樣在[-2,16]上我們只能保證有4個零點[f(1)、f(3)、f(11)、f(13)]

【原題的[0,7]有問題,因為不能確定[-2,0]上有沒有零點,當它沒有吧!】

5、[-2,2013]區間長為2015,2015=18×111+17,有4×112=448個零點;

[-2013,-2]區間長為2011,2011=18×111+13,有4×111+3=447個零點

[f(-2013)=f(-2-18×112+5)=f(-2+5)=f(3)=0];

所以共有895個零點。

和你的答案不一致,幫我檢查一下有木有算錯的地方!謝謝。

2樓:seven井妍

解:∵y=f(2-x)與y=f (7+x)都是偶函式,∴f(2-x)=f(2+x),f (7+x)=f(7-x),即f(x)關於x=2和x=7對稱.

∵f(2-x)=f(2+x),

∴f(4-x)=f(x),

∵f(7-x)=f(7+x),

∴f(4-x)=f(10+x)

∴f(x)=f(10+x),

即10是函式f(x)的一個週期

∵f(7-x)=f(7+x),

函式f(x)在[4,7]上無根.

∴函式f(x)在[7,10]上無根.

∴f(x)=0在[0,10]上恰有兩根為1和3,在[0,2013]上 . f(x)=0的根為10n+1或10n+3的形式 .且0≤n

∴0≤10n+1≤2013,解得0≤n≤201.2,共202個∴0≤10n+3≤2013,解得0≤n≤201,共202個在[-2013,0]上.f(x)=0的根為1-10n或3-10n的形式 .

且0≤n

-2013≤1-10n≤0,解得0.1≤n≤201.4,共201個-2013≤3-10n≤0,解得0.

3≤n≤201.6,共201個綜上所述,共有202+202+201+201=806個根。

奇函式f(x)的定義域為r,若f(x+2)為偶函式,且f(1)=1,則f(8)+f(9)=(  ) 5

3樓:根據

解析:因為f(x)在r上是奇函式且f(x+2)為偶函式 ,所以f(x+2)=f(-x+2),f(x+2)=-f(-x-2),由此可知f(8)=f(-8+2)=f(6)=f(4)=f(0),因為奇函式f(x)定義域為r,

所以f(0)=0,

所以f(8)=f(0)=0,

因為f(1)=1,

同理可證f(9)=f(7)=f(5)=f(3)=f(1)=1,所以f(8)+f(9)=0+1=1。

4樓:匿名使用者

由奇函式f(x)的定義域為r,f(x+2)為偶函式可知 f(x)是周期函式 週期是8 所以f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=0+1=1

5樓:黎佳臻

f(-x)=-f(x),

f(-x+2)=f(x+2)。推匯出

f(-x)=f(x+4)=-f(x),即f(x)=f(x+8),所以f(8)=f(0)=0,f(9)=f(1)=1.

f(8)+f(9)=1.

函式f x 定義域為R,且滿足 f x 是偶函式,f x 1 是奇函式。若f 0 5 9,求f 8 5A 9 B9 C 3 D

f x 是偶函式得f x f x f x 1 是奇函式得f x 1 f x 1 以x 1代換成x得f x 2 f x 於是f x 2 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x 所以f x 是週期為4的周期函式。f 8.5 f 0.5 9選b 因為f x 是偶函式,所以f x f x 則f ...

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1 把x x 2代入f x 2 1 f x 1 f x 得f x 2 2 f x 4 1 f x 2 1 f x 2 把f x 2 1 f x 1 f x 代入上式,得f x 4 1 f x 再令x x 4,代入上式,得f x 8 f x 所以f x 是以8為週期的周期函式 2 因為f x 是以8為...